Menguasai Matematika Kelas 10 IPS Semester 2: Contoh Soal dan Solusi Mendalam

Matematika seringkali dianggap sebagai momok bagi sebagian siswa, terutama mereka yang berada di jurusan Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS). Namun, anggapan ini keliru. Matematika, dengan logika dan penerapannya, justru menjadi alat yang sangat ampuh untuk memahami berbagai fenomena sosial dan ekonomi. Di semester 2 kelas 10, materi matematika IPS dirancang untuk membekali siswa dengan pemahaman dasar yang esensial. Artikel ini akan mengupas beberapa contoh soal matematika kelas 10 IPS semester 2 yang sering muncul, lengkap dengan penjelasan penyelesaian yang mendalam, agar siswa dapat lebih percaya diri dan mahir dalam menghadapinya.

Pentingnya Matematika dalam IPS

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita pahami mengapa matematika begitu penting dalam studi IPS. Matematika memberikan kerangka kerja kuantitatif untuk menganalisis data, membuat prediksi, dan memahami tren dalam berbagai bidang seperti ekonomi, sosiologi, geografi, dan bahkan sejarah. Konsep-konsep seperti statistik, peluang, dan fungsi, yang diajarkan di kelas 10 IPS, sangat relevan untuk memahami indikator ekonomi, pola demografi, distribusi spasial, dan analisis historis.

Topik Utama Matematika Kelas 10 IPS Semester 2

Materi matematika kelas 10 IPS semester 2 umumnya mencakup beberapa topik kunci, di antaranya:

1. Statistika: Pengumpulan, penyajian, dan analisis data. Ini meliputi rata-rata, median, modus, jangkauan, kuartil, serta penyajian data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram lingkaran, dan histogram.
2. Peluang: Konsep dasar peluang, kejadian, ruang sampel, dan cara menghitung peluang suatu kejadian.
3. Fungsi: Konsep fungsi, notasi fungsi, domain, kodomain, range, serta grafik fungsi linier dan kuadrat.

Mari kita bedah beberapa contoh soal dari topik-topik ini.

>

Contoh Soal 1: Statistika – Pemahaman Data

Soal:

Data hasil ulangan harian matematika kelas X IPS 2 disajikan dalam tabel berikut:

Nilai Ujian	Frekuensi
60-69	4
70-79	8
80-89	10
90-99	3

Tentukan:
a. Rata-rata nilai ujian.
b. Median nilai ujian.
c. Modus nilai ujian.

Penyelesaian:

a. Rata-rata Nilai Ujian (Mean)

Untuk menghitung rata-rata nilai ujian dari data berkelompok seperti ini, kita perlu menggunakan titik tengah setiap interval nilai. Titik tengah dihitung dengan menjumlahkan batas bawah dan batas atas interval, lalu dibagi dua.

• Interval 60-69: Titik tengah ($x_i$) = (60 + 69) / 2 = 64.5
• Interval 70-79: Titik tengah ($x_i$) = (70 + 79) / 2 = 74.5
• Interval 80-89: Titik tengah ($x_i$) = (80 + 89) / 2 = 84.5
• Interval 90-99: Titik tengah ($x_i$) = (90 + 99) / 2 = 94.5

Selanjutnya, kita kalikan setiap titik tengah dengan frekuensinya ($f_i$) untuk mendapatkan nilai $f_i cdot x_i$:

• $f_1 cdot x_1$ = 4 * 64.5 = 258
• $f_2 cdot x_2$ = 8 * 74.5 = 596
• $f_3 cdot x_3$ = 10 * 84.5 = 845
• $f_4 cdot x_4$ = 3 * 94.5 = 283.5

Jumlah total frekuensi ($n$) adalah: $n = 4 + 8 + 10 + 3 = 25$.

Jumlah total dari $f_i cdot x_i$ adalah: $sum f_i x_i = 258 + 596 + 845 + 283.5 = 1982.5$.

Rumus rata-rata untuk data berkelompok adalah:
$barx = fracsum f_i x_in$

$barx = frac1982.525 = 79.3$

Jadi, rata-rata nilai ujian adalah 79.3.

b. Median Nilai Ujian

Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Untuk data berkelompok, kita perlu mencari kelas median terlebih dahulu. Kelas median adalah kelas di mana letak median berada. Letak median ditentukan oleh $n/2$.

$n/2 = 25/2 = 12.5$. Ini berarti median berada pada data ke-12.5.

Kita perlu menghitung frekuensi kumulatif untuk menentukan kelas median:

Nilai Ujian	Frekuensi ($f_i$)	Frekuensi Kumulatif ($F_i$)
60-69	4	4
70-79	8	4 + 8 = 12
80-89	10	12 + 10 = 22
90-99	3	22 + 3 = 25

Karena letak median adalah data ke-12.5, dan frekuensi kumulatif sebelum kelas 80-89 adalah 12, maka kelas median adalah interval 80-89.

Rumus median untuk data berkelompok adalah:
$Me = L + left(fracfracn2 – Ffright) cdot p$

Dimana:

• $L$ = Batas bawah kelas median = 80 – 0.5 = 79.5 (kita gunakan batas nyata bawah agar perhitungan lebih akurat)
• $n$ = Jumlah total frekuensi = 25
• $F$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 12
• $f$ = Frekuensi kelas median = 10
• $p$ = Panjang interval kelas = (69 – 60) + 1 = 10

$Me = 79.5 + left(frac12.5 – 1210right) cdot 10$
$Me = 79.5 + left(frac0.510right) cdot 10$
$Me = 79.5 + 0.5$
$Me = 80$

Jadi, median nilai ujian adalah 80.

c. Modus Nilai Ujian

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Untuk data berkelompok, modus terletak pada kelas dengan frekuensi tertinggi. Dari tabel, kelas dengan frekuensi tertinggi adalah 80-89 dengan frekuensi 10.

Rumus modus untuk data berkelompok adalah:
$Mo = L + left(fracd_1d_1 + d_2right) cdot p$

Dimana:

• $L$ = Batas bawah kelas modus = 80 – 0.5 = 79.5
• $d_1$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = $10 – 8 = 2$
• $d_2$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya = $10 – 3 = 7$
• $p$ = Panjang interval kelas = 10

$Mo = 79.5 + left(frac22 + 7right) cdot 10$
$Mo = 79.5 + left(frac29right) cdot 10$
$Mo = 79.5 + frac209$
$Mo = 79.5 + 2.22…$
$Mo approx 81.72$

Jadi, modus nilai ujian adalah sekitar 81.72.

>

Contoh Soal 2: Peluang – Memahami Kemungkinan

Soal:

Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika dua bola diambil secara acak dari kantong tersebut, tentukan peluang terambilnya:
a. Kedua bola berwarna merah.
b. Satu bola merah dan satu bola biru.
c. Bola pertama merah dan bola kedua biru.

Penyelesaian:

Total bola dalam kantong adalah $5 + 3 = 8$ bola.

a. Peluang Terambilnya Kedua Bola Berwarna Merah

Ini adalah peluang kejadian bersyarat, karena bola kedua diambil setelah bola pertama diambil (tanpa pengembalian).

Peluang bola pertama merah: $P(M_1) = fractextJumlah bola merahtextTotal bola = frac58$

Setelah bola pertama terambil merah, tersisa 4 bola merah dan total 7 bola.
Peluang bola kedua merah (jika bola pertama merah): $P(M_2 | M_1) = frac47$

Peluang kedua bola merah adalah:
$P(M_1 text dan M_2) = P(M_1) times P(M_2 | M_1)$
$P(M_1 text dan M_2) = frac58 times frac47 = frac2056 = frac514$

Alternatif lain menggunakan kombinasi:
Jumlah cara mengambil 2 bola dari 8 bola: $C(8, 2) = frac8!2!(8-2)! = frac8 times 72 times 1 = 28$
Jumlah cara mengambil 2 bola merah dari 5 bola merah: $C(5, 2) = frac5!2!(5-2)! = frac5 times 42 times 1 = 10$
Peluang kedua bola merah = $fracC(5, 2)C(8, 2) = frac1028 = frac514$.

Jadi, peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah 5/14.

b. Peluang Terambilnya Satu Bola Merah dan Satu Bola Biru

Ini berarti urutan pengambilan tidak diperhatikan (bisa merah lalu biru, atau biru lalu merah).

Kasus 1: Bola pertama merah, bola kedua biru.
$P(M_1 text dan B_2) = P(M_1) times P(B_2 | M_1) = frac58 times frac37 = frac1556$

Kasus 2: Bola pertama biru, bola kedua merah.
$P(B_1 text dan M_2) = P(B_1) times P(M_2 | B_1) = frac38 times frac57 = frac1556$

Peluang satu merah dan satu biru = $P(M_1 text dan B_2) + P(B_1 text dan M_2)$
Peluang satu merah dan satu biru = $frac1556 + frac1556 = frac3056 = frac1528$

Alternatif lain menggunakan kombinasi:
Jumlah cara mengambil 1 bola merah dari 5 bola merah: $C(5, 1) = 5$
Jumlah cara mengambil 1 bola biru dari 3 bola biru: $C(3, 1) = 3$
Jumlah cara mengambil 1 merah dan 1 biru = $C(5, 1) times C(3, 1) = 5 times 3 = 15$
Peluang satu merah dan satu biru = $fracC(5, 1) times C(3, 1)C(8, 2) = frac1528$.

Jadi, peluang terambilnya satu bola merah dan satu bola biru adalah 15/28.

c. Peluang Bola Pertama Merah dan Bola Kedua Biru

Ini adalah kasus spesifik di mana urutan pengambilan sudah ditentukan.

Peluang bola pertama merah: $P(M_1) = frac58$

Setelah bola pertama terambil merah, tersisa 4 bola merah dan 3 bola biru, dengan total 7 bola.
Peluang bola kedua biru (jika bola pertama merah): $P(B_2 | M_1) = frac37$

Peluang bola pertama merah dan bola kedua biru adalah:
$P(M_1 text dan B_2) = P(M_1) times P(B_2 | M_1)$
$P(M_1 text dan B_2) = frac58 times frac37 = frac1556$

Jadi, peluang bola pertama merah dan bola kedua biru adalah 15/56.

>

Contoh Soal 3: Fungsi – Pemodelan Situasi

Soal:

Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan biaya tetap sebesar Rp 10.000.000 dan biaya variabel per unit sebesar Rp 5.000. Jika perusahaan menjual setiap unit barang dengan harga Rp 15.000, tentukan:
a. Fungsi biaya total produksi.
b. Fungsi pendapatan total.
c. Fungsi keuntungan.
d. Berapa unit barang harus terjual agar perusahaan mencapai titik impas (Break-Even Point)?

Penyelesaian:

Misalkan $x$ adalah jumlah unit barang yang diproduksi dan dijual.

a. Fungsi Biaya Total Produksi ($C(x)$)

Biaya total adalah jumlah biaya tetap dan biaya variabel.
Biaya Tetap = Rp 10.000.000
Biaya Variabel per unit = Rp 5.000
Total Biaya Variabel = $5.000x$

Fungsi Biaya Total:
$C(x) = textBiaya Tetap + textTotal Biaya Variabel$
$C(x) = 10.000.000 + 5.000x$

b. Fungsi Pendapatan Total ($R(x)$)

Pendapatan total adalah hasil perkalian harga jual per unit dengan jumlah unit yang terjual.
Harga Jual per unit = Rp 15.000

Fungsi Pendapatan Total:
$R(x) = textHarga Jual per unit times x$
$R(x) = 15.000x$

c. Fungsi Keuntungan ($P(x)$)

Keuntungan dihitung dengan mengurangkan biaya total dari pendapatan total.
$P(x) = R(x) – C(x)$
$P(x) = 15.000x – (10.000.000 + 5.000x)$
$P(x) = 15.000x – 10.000.000 – 5.000x$
$P(x) = 10.000x – 10.000.000$

d. Titik Impas (Break-Even Point)

Titik impas terjadi ketika keuntungan sama dengan nol, atau ketika pendapatan total sama dengan biaya total ($R(x) = C(x)$).

Menggunakan fungsi keuntungan:
$P(x) = 0$
$10.000x – 10.000.000 = 0$
$10.000x = 10.000.000$
$x = frac10.000.00010.000$
$x = 1000$

Atau menggunakan $R(x) = C(x)$:
$15.000x = 10.000.000 + 5.000x$
$15.000x – 5.000x = 10.000.000$
$10.000x = 10.000.000$
$x = frac10.000.00010.000$
$x = 1000$

Jadi, perusahaan harus menjual 1000 unit barang agar mencapai titik impas.

>

Tips Sukses Belajar Matematika Kelas 10 IPS Semester 2

1. Pahami Konsep Dasar: Jangan terburu-buru menghafal rumus. Pastikan Anda benar-benar memahami konsep di balik setiap materi.
2. Latihan Soal Bervariasi: Kerjakan berbagai macam soal, mulai dari yang mudah hingga yang menantang. Ini membantu Anda mengenali pola dan strategi penyelesaian yang berbeda.
3. Gunakan Sumber Belajar Tambahan: Selain buku teks, manfaatkan sumber belajar online, video tutorial, atau diskusikan dengan teman dan guru.
4. Buat Catatan Ringkas: Rangkum rumus-rumus penting dan langkah-langkah penyelesaian soal yang sering muncul.
5. Jangan Takut Bertanya: Jika ada materi atau soal yang sulit dipahami, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman.

Matematika kelas 10 IPS semester 2 bukanlah akhir dari perjalanan, melainkan batu loncatan untuk pemahaman yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman yang mendalam, Anda pasti dapat menguasai materi ini dan melihat betapa bergunanya matematika dalam berbagai aspek kehidupan sosial dan ekonomi. Selamat belajar!