Contoh soal matematika kelas 10 semester 2 beserta pembahasannya

Menguasai Matematika Kelas 10 Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Memasuki semester kedua kelas 10 merupakan fase penting dalam perjalanan belajar matematika. Materi yang disajikan biasanya lebih menantang, menuntut pemahaman konsep yang lebih kuat, dan kemampuan aplikasi yang lebih luas. Untuk membantu siswa mempersiapkan diri menghadapi berbagai jenis soal, artikel ini akan menyajikan beberapa contoh soal matematika kelas 10 semester 2 yang sering muncul, lengkap dengan pembahasan mendalam yang mudah dipahami.

Semester 2 kelas 10 umumnya mencakup topik-topik seperti Trigonometri (lanjutan), Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri, Fungsi Trigonometri, Statistika (Penyajian Data, Ukuran Pemusatan, Ukuran Penyebaran), Peluang (Kaidah Pencacahan, Peluang Suatu Kejadian), serta Logaritma. Fokus kita kali ini adalah pada beberapa contoh soal yang mewakili variasi materi tersebut.

Bagian 1: Trigonometri Lanjutan dan Aplikasi

Trigonometri merupakan salah satu pilar penting dalam matematika kelas 10. Di semester 2, biasanya kita akan mendalami identitas trigonometri, aturan sinus, aturan kosinus, dan luas segitiga menggunakan trigonometri.

Contoh Soal 1 (Identitas Trigonometri):

Buktikan identitas trigonometri berikut:
$$ fracsin x1 + cos x + frac1 + cos xsin x = 2 csc x $$

Pembahasan:

Untuk membuktikan identitas ini, kita akan memanipulasi salah satu sisi (biasanya sisi yang lebih kompleks) hingga menyerupai sisi lainnya. Kita akan mulai dari sisi kiri.

• Langkah 1: Menyamakan penyebut.
  Kita perlu menyamakan penyebut dari kedua pecahan di sisi kiri. Penyebut bersama adalah $(1 + cos x) sin x$.

  $$ fracsin x1 + cos x + frac1 + cos xsin x = fracsin x cdot sin x(1 + cos x) sin x + frac(1 + cos x) cdot (1 + cos x)sin x (1 + cos x) $$

• Langkah 2: Melakukan perkalian di pembilang.

  $$ = fracsin^2 x(1 + cos x) sin x + frac(1 + cos x)^2sin x (1 + cos x) $$

  Ingat bahwa $(1 + cos x)^2 = 1^2 + 2(1)(cos x) + cos^2 x = 1 + 2 cos x + cos^2 x$.

  $$ = fracsin^2 x(1 + cos x) sin x + frac1 + 2 cos x + cos^2 xsin x (1 + cos x) $$

• Langkah 3: Menjumlahkan pembilang.

  $$ = fracsin^2 x + 1 + 2 cos x + cos^2 x(1 + cos x) sin x $$

• Langkah 4: Menggunakan identitas $sin^2 x + cos^2 x = 1$.

  Kita bisa mengganti $sin^2 x + cos^2 x$ dengan $1$.

  $$ = frac1 + 1 + 2 cos x(1 + cos x) sin x $$

  $$ = frac2 + 2 cos x(1 + cos x) sin x $$

• Langkah 5: Memfaktorkan pembilang.

  Faktorkan $2$ dari pembilang.

  $$ = frac2 (1 + cos x)(1 + cos x) sin x $$

• Langkah 6: Menyederhanakan.

  Kita bisa membatalkan $(1 + cos x)$ yang ada di pembilang dan penyebut (dengan asumsi $1 + cos x neq 0$, yang berlaku untuk sebagian besar nilai $x$ yang relevan dalam identitas trigonometri).

  $$ = frac2sin x $$

• Langkah 7: Menggunakan definisi $csc x$.

  Kita tahu bahwa $csc x = frac1sin x$.

  $$ = 2 csc x $$

Identitas terbukti karena sisi kiri telah berhasil diubah menjadi sisi kanan.

Contoh Soal 2 (Aturan Sinus dan Kosinus):

Dalam segitiga ABC, diketahui panjang sisi $a = 5$ cm, sisi $b = 7$ cm, dan sudut $C = 60^circ$. Tentukan panjang sisi $c$.

Pembahasan:

Soal ini meminta kita untuk mencari panjang salah satu sisi segitiga ketika dua sisi dan sudut yang diapitnya diketahui. Ini adalah aplikasi langsung dari Aturan Kosinus.

• Aturan Kosinus: Untuk segitiga dengan sisi $a, b, c$ dan sudut $A, B, C$ yang berhadapan, berlaku:
  $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C$
  $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos A$
  $b^2 = a^2 + c^2 – 2ac cos B$

• Penerapan:
  Kita memiliki $a = 5$, $b = 7$, dan $C = 60^circ$. Kita ingin mencari $c$. Menggunakan rumus pertama:

  $$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C $$

  $$ c^2 = 5^2 + 7^2 – 2(5)(7) cos 60^circ $$

  $$ c^2 = 25 + 49 – 2(35) left(frac12right) $$

  Ingat bahwa $cos 60^circ = frac12$.

  $$ c^2 = 74 – 35 $$

  $$ c^2 = 39 $$

  Untuk mencari $c$, kita ambil akar kuadrat dari $39$.

  $$ c = sqrt39 text cm $$

Jadi, panjang sisi $c$ adalah $sqrt39$ cm.

Bagian 2: Statistika – Memahami Data

Statistika berperan penting dalam mengolah dan memahami informasi dari sekumpulan data. Di kelas 10 semester 2, kita akan mempelajari penyajian data dalam bentuk tabel dan diagram, serta menghitung ukuran pemusatan (mean, median, modus) dan ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, simpangan baku).

Contoh Soal 3 (Ukuran Pemusatan Data Kelompok):

Berikut adalah data tinggi badan siswa kelas X dalam cm:

Tinggi Badan (cm)	Frekuensi
150 – 154	4
155 – 159	7
160 – 164	10
165 – 169	6
170 – 174	3

Hitunglah mean (rata-rata) dari data tinggi badan siswa tersebut.

Pembahasan:

Untuk menghitung mean dari data kelompok, kita perlu menggunakan rumus:
$$ textMean (barx) = fracsum (f_i cdot x_i)sum f_i $$
di mana $f_i$ adalah frekuensi kelas ke-$i$, dan $x_i$ adalah titik tengah kelas ke-$i$.

• Langkah 1: Menentukan titik tengah setiap kelas ($x_i$).
  Titik tengah kelas dihitung dengan: $fractextBatas Bawah + textBatas Atas2$.

  • Kelas 150 – 154: $x_1 = frac150 + 1542 = frac3042 = 152$
  • Kelas 155 – 159: $x_2 = frac155 + 1592 = frac3142 = 157$
  • Kelas 160 – 164: $x_3 = frac160 + 1642 = frac3242 = 162$
  • Kelas 165 – 169: $x_4 = frac165 + 1692 = frac3342 = 167$
  • Kelas 170 – 174: $x_5 = frac170 + 1742 = frac3442 = 172$

• Langkah 2: Menghitung hasil perkalian $f_i cdot x_i$ untuk setiap kelas.

  • $f_1 cdot x_1 = 4 cdot 152 = 608$
  • $f_2 cdot x_2 = 7 cdot 157 = 1099$
  • $f_3 cdot x_3 = 10 cdot 162 = 1620$
  • $f_4 cdot x_4 = 6 cdot 167 = 1002$
  • $f_5 cdot x_5 = 3 cdot 172 = 516$

• Langkah 3: Menjumlahkan semua nilai $f_i cdot x_i$.
  $$ sum (f_i cdot x_i) = 608 + 1099 + 1620 + 1002 + 516 = 4845 $$

• Langkah 4: Menjumlahkan semua frekuensi ($sum f_i$).
  $$ sum f_i = 4 + 7 + 10 + 6 + 3 = 30 $$

• Langkah 5: Menghitung mean.
  $$ barx = frac484530 = 161.5 $$

Jadi, rata-rata tinggi badan siswa kelas X adalah 161.5 cm.

Bagian 3: Peluang – Kemungkinan yang Terjadi

Peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Di kelas 10 semester 2, kita akan mendalami kaidah pencacahan (aturan perkalian, penjumlahan, permutasi, kombinasi) dan menghitung peluang suatu kejadian.

Contoh Soal 4 (Kaidah Pencacahan – Permutasi):

Dari 8 orang siswa akan dipilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk jika setiap siswa hanya boleh menduduki satu jabatan?

Pembahasan:

Soal ini berkaitan dengan pemilihan pengurus dengan memperhatikan urutan jabatan. Karena urutan penting (ketua, wakil ketua, sekretaris adalah jabatan yang berbeda), kita menggunakan konsep permutasi.

• Konsep Permutasi: Permutasi adalah cara menyusun objek-objek dengan memperhatikan urutan. Rumus permutasi $r$ objek dari $n$ objek adalah:
  $$ P(n, r) = fracn!(n-r)! $$

• Penerapan:
  Kita memiliki $n = 8$ siswa dan akan memilih $r = 3$ jabatan.

  $$ P(8, 3) = frac8!(8-3)! = frac8!5! $$

  $$ P(8, 3) = frac8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 15 times 4 times 3 times 2 times 1 $$

  Kita bisa membatalkan $5!$ di pembilang dan penyebut:

  $$ P(8, 3) = 8 times 7 times 6 $$

  $$ P(8, 3) = 56 times 6 $$

  $$ P(8, 3) = 336 $$

Alternatif lain, kita bisa menggunakan logika kaidah perkalian:

• Untuk jabatan ketua, ada 8 pilihan siswa.
• Setelah ketua terpilih, tersisa 7 siswa untuk jabatan wakil ketua.
• Setelah ketua dan wakil ketua terpilih, tersisa 6 siswa untuk jabatan sekretaris.

Jadi, total susunan pengurus adalah $8 times 7 times 6 = 336$.

Jadi, ada 336 susunan pengurus yang dapat dibentuk.

Contoh Soal 5 (Peluang Suatu Kejadian):

Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola kuning. Jika diambil satu bola secara acak, berapakah peluang terambilnya bola berwarna biru?

Pembahasan:

Peluang suatu kejadian dihitung dengan rumus:
$$ P(A) = fractextJumlah hasil yang diinginkantextJumlah total hasil yang mungkin $$

• Langkah 1: Menentukan jumlah hasil yang diinginkan.
  Kita ingin mengambil bola berwarna biru. Ada 3 bola biru. Jadi, jumlah hasil yang diinginkan adalah 3.

• Langkah 2: Menentukan jumlah total hasil yang mungkin.
  Jumlah total bola dalam kantong adalah jumlah bola merah + bola biru + bola kuning.
  Jumlah total bola = 5 + 3 + 2 = 10 bola.
  Jadi, jumlah total hasil yang mungkin adalah 10.

• Langkah 3: Menghitung peluang.
  $$ P(textbola biru) = frac310 $$

Jadi, peluang terambilnya bola berwarna biru adalah $frac310$.

Bagian 4: Logaritma – Memecahkan Eksponen

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Materi ini sangat berguna dalam berbagai bidang, mulai dari sains hingga keuangan.

Contoh Soal 6 (Sifat-sifat Logaritma):

Tentukan nilai dari:
$$ ^2log 8 + ^3log 9 – ^5log 125 $$

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengingat dan menerapkan sifat-sifat dasar logaritma.

• Sifat Dasar Logaritma:

  • $^alog a^b = b$
  • $^alog 1 = 0$
  • $^alog a = 1$
  • $^alog (M cdot N) = ^alog M + ^alog N$
  • $^alog fracMN = ^alog M – ^alog N$
  • $^alog M^n = n cdot ^alog M$

• Penerapan:
  Kita akan mengubah angka-angka di dalam logaritma menjadi bentuk pangkat dari basis logaritmanya.

  • $^2log 8$: Kita tahu bahwa $8 = 2^3$. Maka, $^2log 8 = ^2log 2^3$. Menggunakan sifat $^alog a^b = b$, maka $^2log 2^3 = 3$.

  • $^3log 9$: Kita tahu bahwa $9 = 3^2$. Maka, $^3log 9 = ^3log 3^2$. Menggunakan sifat $^alog a^b = b$, maka $^3log 3^2 = 2$.

  • $^5log 125$: Kita tahu bahwa $125 = 5^3$. Maka, $^5log 125 = ^5log 5^3$. Menggunakan sifat $^alog a^b = b$, maka $^5log 5^3 = 3$.

  Sekarang, substitusikan nilai-nilai ini kembali ke soal:
  $$ ^2log 8 + ^3log 9 – ^5log 125 = 3 + 2 – 3 $$

  $$ = 5 – 3 $$

  $$ = 2 $$

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah 2.

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 10 semester 2 membutuhkan latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang mendalam. Contoh-contoh soal di atas mencakup beberapa topik kunci yang sering diujikan. Dengan mempelajari dan mencoba mengerjakan variasi soal serupa, siswa diharapkan dapat meningkatkan kepercayaan diri dan meraih hasil yang optimal dalam ujian. Ingatlah bahwa kunci utama dalam matematika adalah pemahaman, bukan sekadar menghafal rumus. Selamat belajar!

>