Contoh soal matematika kelas 10 semester 2 dan pembahasannya

Menguasai Matematika Kelas 10 Semester 2: Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika kelas 10 semester 2 seringkali menjadi gerbang menuju konsep-konsep yang lebih abstrak dan aplikatif. Materi yang disajikan biasanya mencakup trigonometri, barisan dan deret, serta fungsi. Ketiga topik ini saling terkait dan fundamental untuk pemahaman matematika di tingkat selanjutnya. Memahami konsep-konsep ini dengan baik melalui latihan soal yang variatif akan membangun fondasi yang kuat bagi para siswa.

Artikel ini akan menyajikan beberapa contoh soal matematika kelas 10 semester 2 beserta pembahasan yang mendalam. Tujuannya adalah untuk membantu siswa memahami berbagai tipe soal, strategi penyelesaian, dan konsep-konsep kunci yang terkandung di dalamnya.

Topik 1: Trigonometri

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas 10 semester 2, fokus biasanya pada perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri dasar, dan aturan sinus serta cosinus untuk segitiga sembarang.

Contoh Soal 1.1: Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 6 cm, tentukan nilai dari sin A, cos A, tan A, sin C, cos C, dan tan C.

Pembahasan Soal 1.1:

Langkah pertama adalah menggambar segitiga siku-siku ABC dan menandai sisi-sisinya. Sisi AB adalah sisi depan sudut C (depan), sisi BC adalah sisi depan sudut A (depan), dan sisi AC adalah sisi miring (hipotenusa).

• Mencari Panjang Sisi Miring (AC):
  Kita dapat menggunakan teorema Pythagoras: $AC^2 = AB^2 + BC^2$
  $AC^2 = 8^2 + 6^2$
  $AC^2 = 64 + 36$
  $AC^2 = 100$
  $AC = sqrt100 = 10$ cm

• Menentukan Perbandingan Trigonometri untuk Sudut A:

  • Sinus (sin) didefinisikan sebagai perbandingan sisi depan sudut dengan sisi miring.
    $sin A = fracsisi depan Asisi miring = fracBCAC = frac610 = frac35$
  • Cosinus (cos) didefinisikan sebagai perbandingan sisi samping sudut dengan sisi miring.
    $cos A = fracsisi samping Asisi miring = fracABAC = frac810 = frac45$
  • Tangen (tan) didefinisikan sebagai perbandingan sisi depan sudut dengan sisi samping sudut.
    $tan A = fracsisi depan Asisi samping A = fracBCAB = frac68 = frac34$

• Menentukan Perbandingan Trigonometri untuk Sudut C:

  • Sinus (sin):
    $sin C = fracsisi depan Csisi miring = fracABAC = frac810 = frac45$
  • Cosinus (cos):
    $cos C = fracsisi samping Csisi miring = fracBCAC = frac610 = frac35$
  • Tangen (tan):
    $tan C = fracsisi depan Csisi samping C = fracABBC = frac86 = frac43$

Perhatikan bahwa sin A = cos C, cos A = sin C, dan tan A * tan C = 1. Ini adalah sifat penting dalam segitiga siku-siku di mana kedua sudut lancipnya saling berkomplemen.

Contoh Soal 1.2: Aturan Cosinus

Sebuah segitiga memiliki panjang sisi a = 7 cm, b = 8 cm, dan sudut C = 60°. Tentukan panjang sisi c.

Pembahasan Soal 1.2:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan aturan cosinus, yang menghubungkan panjang ketiga sisi dengan salah satu sudut dalam segitiga sembarang. Rumusnya adalah:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C$

• Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
  $c^2 = 7^2 + 8^2 – 2(7)(8) cos 60°$
  Kita tahu bahwa $cos 60° = frac12$.

• Lakukan perhitungan:
  $c^2 = 49 + 64 – 2(56) (frac12)$
  $c^2 = 113 – 56$
  $c^2 = 57$

• Cari panjang sisi c:
  $c = sqrt57$ cm

Jadi, panjang sisi c adalah $sqrt57$ cm. Aturan cosinus sangat berguna ketika kita mengetahui dua sisi dan sudut yang diapitnya (kasus SAS), atau ketiga sisi segitiga (untuk mencari salah satu sudutnya).

Topik 2: Barisan dan Deret

Barisan adalah urutan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu, sedangkan deret adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan. Di kelas 10, materi yang dibahas biasanya adalah barisan dan deret aritmetika (dengan beda konstan) dan barisan serta deret geometri (dengan rasio konstan).

Contoh Soal 2.1: Barisan Aritmetika

Diketahui sebuah barisan aritmetika dengan suku pertama $U1 = 5$ dan beda $b = 3$. Tentukan suku ke-15 ($U15$) dan jumlah 10 suku pertama ($S_10$).

Pembahasan Soal 2.1:

• Rumus Suku ke-n Barisan Aritmetika:
  $U_n = U_1 + (n-1)b$

• Menentukan Suku ke-15 ($U_15$):
  Substitusikan $n = 15$, $U1 = 5$, dan $b = 3$ ke dalam rumus:
  $U15 = 5 + (15-1) times 3$
  $U15 = 5 + 14 times 3$
  $U15 = 5 + 42$
  $U_15 = 47$

• Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmetika:
  Ada dua rumus yang bisa digunakan:

  1. $S_n = fracn2 (U_1 + U_n)$
  2. $S_n = fracn2 (2U_1 + (n-1)b)$

  Kita akan menggunakan rumus kedua karena kita sudah memiliki $U1$ dan $b$, dan tidak perlu mencari $U10$ terlebih dahulu.

• Menentukan Jumlah 10 Suku Pertama ($S_10$):
  Substitusikan $n = 10$, $U1 = 5$, dan $b = 3$ ke dalam rumus kedua:
  $S10 = frac102 (2 times 5 + (10-1) times 3)$
  $S10 = 5 (10 + 9 times 3)$
  $S10 = 5 (10 + 27)$
  $S10 = 5 (37)$
  $S10 = 185$

Jadi, suku ke-15 barisan tersebut adalah 47, dan jumlah 10 suku pertamanya adalah 185.

Contoh Soal 2.2: Barisan Geometri

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $U_1 = 2$ dan rasio $r = 3$. Tentukan suku ke-5 ($U_5$) dan jumlah 4 suku pertama ($S_4$).

Pembahasan Soal 2.2:

• Rumus Suku ke-n Barisan Geometri:
  $U_n = U_1 times r^(n-1)$

• Menentukan Suku ke-5 ($U_5$):
  Substitusikan $n = 5$, $U_1 = 2$, dan $r = 3$:
  $U_5 = 2 times 3^(5-1)$
  $U_5 = 2 times 3^4$
  $U_5 = 2 times 81$
  $U_5 = 162$

• Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Geometri:
  Jika $r > 1$: $S_n = fracU_1 (r^n – 1)r – 1$
  Jika $r < 1$: $S_n = fracU_1 (1 – r^n)1 – r$

  Karena $r = 3 > 1$, kita gunakan rumus pertama.

• Menentukan Jumlah 4 Suku Pertama ($S_4$):
  Substitusikan $n = 4$, $U_1 = 2$, dan $r = 3$:
  $S_4 = frac2 (3^4 – 1)3 – 1$
  $S_4 = frac2 (81 – 1)2$
  $S_4 = frac2 (80)2$
  $S_4 = 80$

Jadi, suku ke-5 barisan geometri tersebut adalah 162, dan jumlah 4 suku pertamanya adalah 80.

Topik 3: Fungsi

Fungsi adalah relasi khusus di mana setiap elemen pada himpunan asal (domain) berpasangan dengan tepat satu elemen pada himpunan kawan (kodomain). Di kelas 10 semester 2, fokus biasanya pada fungsi linier, kuadrat, dan komposisi fungsi, serta fungsi invers.

Contoh Soal 3.1: Fungsi Linier dan Grafik

Diketahui sebuah fungsi linier $f(x) = 2x – 4$.
a. Tentukan nilai $f(3)$.
b. Tentukan nilai $x$ jika $f(x) = 6$.
c. Gambarkan grafik fungsi $f(x)$.

Pembahasan Soal 3.1:

a. Menentukan nilai $f(3)$:
Substitusikan $x = 3$ ke dalam rumus fungsi:
$f(3) = 2(3) – 4$
$f(3) = 6 – 4$
$f(3) = 2$

b. Menentukan nilai $x$ jika $f(x) = 6$:
Atur persamaan $f(x) = 6$:
$2x – 4 = 6$
$2x = 6 + 4$
$2x = 10$
$x = frac102$
$x = 5$

c. Menggambar grafik fungsi $f(x)$:
Fungsi linier $f(x) = 2x – 4$ memiliki bentuk $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan) dan $c$ adalah perpotongan sumbu y.

• Gradien ($m$) = 2. Ini berarti untuk setiap kenaikan 1 unit pada sumbu x, nilai y akan naik 2 unit.

• Perpotongan sumbu y ($c$) = -4. Ini berarti grafik memotong sumbu y di titik (0, -4).

  Untuk menggambar grafik, kita perlu setidaknya dua titik. Kita sudah tahu satu titik yaitu (0, -4). Kita bisa mencari titik lain, misalnya dari bagian a, kita tahu $f(3) = 2$, sehingga titiknya adalah (3, 2).

  Langkah-langkah menggambar:

  1. Buat sistem koordinat Kartesius (sumbu x dan sumbu y).
  2. Tandai titik perpotongan sumbu y, yaitu (0, -4).
  3. Tandai titik lain yang sudah dihitung, yaitu (3, 2).
  4. Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus. Garis inilah yang merepresentasikan grafik fungsi $f(x) = 2x – 4$.

Contoh Soal 3.2: Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Diketahui fungsi $f(x) = x + 2$ dan $g(x) = 3x – 1$.
a. Tentukan $(f circ g)(x)$.
b. Tentukan $(g circ f)(x)$.
c. Tentukan fungsi invers dari $f(x)$, yaitu $f^-1(x)$.
d. Tentukan fungsi invers dari $g(x)$, yaitu $g^-1(x)$.

Pembahasan Soal 3.2:

a. Menentukan $(f circ g)(x)$:
Komposisi $(f circ g)(x)$ berarti memasukkan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
Substitusikan $g(x)$ ke dalam $f(x)$:
$f(g(x)) = f(3x – 1)$
Karena $f(x) = x + 2$, maka:
$f(3x – 1) = (3x – 1) + 2$
$(f circ g)(x) = 3x + 1$

b. Menentukan $(g circ f)(x)$:
Komposisi $(g circ f)(x)$ berarti memasukkan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
Substitusikan $f(x)$ ke dalam $g(x)$:
$g(f(x)) = g(x + 2)$
Karena $g(x) = 3x – 1$, maka:
$g(x + 2) = 3(x + 2) – 1$
$g(x + 2) = 3x + 6 – 1$
$(g circ f)(x) = 3x + 5$

c. Menentukan fungsi invers dari $f(x)$, yaitu $f^-1(x)$:
Misalkan $y = f(x)$, sehingga $y = x + 2$.
Untuk mencari fungsi invers, kita tukar variabel $x$ dan $y$, lalu selesaikan untuk $y$.
$x = y + 2$
$y = x – 2$
Jadi, $f^-1(x) = x – 2$.

d. Menentukan fungsi invers dari $g(x)$, yaitu $g^-1(x)$:
Misalkan $y = g(x)$, sehingga $y = 3x – 1$.
Tukar variabel $x$ dan $y$:
$x = 3y – 1$
Selesaikan untuk $y$:
$x + 1 = 3y$
$y = fracx + 13$
Jadi, $g^-1(x) = fracx + 13$.

Penutup

Memahami dan menguasai materi matematika kelas 10 semester 2 adalah kunci sukses untuk jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Dengan berlatih soal-soal seperti yang telah dibahas di atas, siswa dapat menguji pemahaman konsep, mengasah kemampuan problem-solving, dan membangun kepercayaan diri. Ingatlah bahwa konsistensi dalam belajar dan ketekunan dalam mengerjakan soal adalah kunci utama keberhasilan. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika menemui kesulitan. Selamat belajar!

>