Contoh soal matematika kelas 10 semester 2 kurikulum 2013

Membedah Konsep Matematika Kelas 10 Semester 2 Kurikulum 2013: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, memegang peranan krusial dalam membentuk pola pikir logis dan analitis. Khususnya bagi siswa kelas 10 di bawah naungan Kurikulum 2013, semester kedua menyajikan serangkaian topik penting yang menjadi fondasi untuk pemahaman matematika lebih lanjut. Artikel ini bertujuan untuk memberikan gambaran komprehensif mengenai materi yang diajarkan pada semester genap kelas 10, dilengkapi dengan contoh-contoh soal yang relevan dan penjelasan mendalam untuk membantu siswa menguasai konsep-konsep tersebut.

Memahami Struktur Kurikulum 2013 untuk Matematika Kelas 10 Semester 2

Kurikulum 2013 menekankan pada pembelajaran aktif dan berbasis kompetensi. Untuk matematika kelas 10 semester 2, materi umumnya berfokus pada dua pilar utama: Trigonometri dan Statistika serta Peluang. Kedua bidang ini memiliki aplikasi yang sangat luas, mulai dari perhitungan dalam bidang teknik, fisika, ekonomi, hingga analisis data dalam kehidupan sehari-hari.

I. Trigonometri: Menyingkap Hubungan Sudut dan Sisi Segitiga

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga, terutama segitiga siku-siku. Materi ini menjadi fundamental untuk memahami berbagai fenomena alam, pergerakan benda, hingga perhitungan dalam astronomi dan navigasi.

A. Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Konsep dasar trigonometri terletak pada definisi rasio perbandingan antara sisi-sisi segitiga siku-siku terhadap salah satu sudut lancipnya. Tiga rasio utama yang perlu dikuasai adalah sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan).

• Sinus (sin): Perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dengan panjang sisi miring (hipotenusa).
  • $sin alpha = fractextsisi depantextsisi miring$
• Kosinus (cos): Perbandingan antara panjang sisi di samping sudut dengan panjang sisi miring (hipotenusa).
  • $cos alpha = fractextsisi sampingtextsisi miring$
• Tangen (tan): Perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dengan panjang sisi di samping sudut.
  • $tan alpha = fractextsisi depantextsisi samping$

Selain itu, terdapat juga rasio kebalikan, yaitu kososekan (csc), sekan (sec), dan kotangen (cot).

• $csc alpha = frac1sin alpha$
• $sec alpha = frac1cos alpha$
• $cot alpha = frac1tan alpha$

Contoh Soal 1 (Rasio Trigonometri):

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Jika panjang AB = 8 cm dan BC = 15 cm, tentukan nilai dari $sin C$, $cos C$, dan $tan C$.

Pembahasan:

Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring AC menggunakan teorema Pythagoras:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 15^2$
$AC^2 = 64 + 225$
$AC^2 = 289$
$AC = sqrt289 = 17$ cm

Sekarang kita dapat menentukan rasio trigonometri untuk sudut C:

• Sisi di depan sudut C adalah AB = 8 cm.
• Sisi di samping sudut C adalah BC = 15 cm.
• Sisi miring adalah AC = 17 cm.

Maka:

• $sin C = fractextsisi depantextsisi miring = fracABAC = frac817$
• $cos C = fractextsisi sampingtextsisi miring = fracBCAC = frac1517$
• $tan C = fractextsisi depantextsisi samping = fracABBC = frac815$

B. Rasio Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa seperti 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° memiliki nilai rasio trigonometri yang tetap dan seringkali digunakan dalam perhitungan.

Sudut (α)	$sin alpha$	$cos alpha$	$tan alpha$
0°	0	1	0
30°	1/2	$sqrt3/2$	$1/sqrt3$
45°	$sqrt2/2$	$sqrt2/2$	1
60°	$sqrt3/2$	1/2	$sqrt3$
90°	1	0	Tak terdefinisi

Contoh Soal 2 (Sudut Istimewa):

Hitunglah nilai dari: $2 sin 30^circ + 3 cos 60^circ – tan 45^circ$.

Pembahasan:

Mengganti nilai-nilai dari sudut istimewa:
$2 sin 30^circ + 3 cos 60^circ – tan 45^circ = 2 left(frac12right) + 3 left(frac12right) – 1$
$= 1 + frac32 – 1$
$= frac32$

C. Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai variabel yang memenuhi domainnya. Beberapa identitas dasar yang penting adalah:

• $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$
• $1 + tan^2 alpha = sec^2 alpha$
• $1 + cot^2 alpha = csc^2 alpha$

Contoh Soal 3 (Identitas Trigonometri):

Buktikan identitas trigonometri berikut: $fracsin xcsc x + fraccos xsec x = 1$.

Pembahasan:

Kita akan membuktikan identitas ini dengan mengubah salah satu ruas menjadi ruas lainnya. Mari kita ubah ruas kiri:
$fracsin xcsc x + fraccos xsec x$

Kita tahu bahwa $csc x = frac1sin x$ dan $sec x = frac1cos x$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$= fracsin x1/sin x + fraccos x1/cos x$
$= sin x cdot sin x + cos x cdot cos x$
$= sin^2 x + cos^2 x$

Berdasarkan identitas dasar trigonometri, $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
Jadi, $fracsin xcsc x + fraccos xsec x = 1$. Identitas terbukti.

D. Aturan Sinus dan Aturan Kosinus

Aturan sinus dan aturan kosinus digunakan untuk menyelesaikan segitiga sembarang (segitiga yang tidak harus siku-siku).

• Aturan Sinus: Pada segitiga ABC, berlaku:
  $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C$
  (di mana a, b, c adalah panjang sisi di depan sudut A, B, C secara berturut-turut).

• Aturan Kosinus: Pada segitiga ABC, berlaku:
  $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos A$
  $b^2 = a^2 + c^2 – 2ac cos B$
  $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C$

Contoh Soal 4 (Aturan Sinus):

Diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi $p = 10$ cm, $q = 12$ cm, dan sudut $R = 60^circ$. Tentukan panjang sisi $r$.

Pembahasan:

Karena kita memiliki dua sisi dan sudut yang diapitnya, kita dapat menggunakan aturan kosinus:
$r^2 = p^2 + q^2 – 2pq cos R$
$r^2 = 10^2 + 12^2 – 2(10)(12) cos 60^circ$
$r^2 = 100 + 144 – 240 left(frac12right)$
$r^2 = 244 – 120$
$r^2 = 124$
$r = sqrt124 = sqrt4 times 31 = 2sqrt31$ cm

II. Statistika: Mengolah dan Memahami Data

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengorganisasi, menyajikan, menganalisis, dan menginterpretasikan data. Materi ini sangat penting untuk membuat keputusan yang informatif berdasarkan data yang ada.

A. Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data memberikan gambaran tentang nilai pusat dari sekumpulan data. Tiga ukuran pemusatan yang paling umum adalah:

1. Rata-rata (Mean): Jumlah seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data.

   • $barx = fracsum x_in$ (untuk data tunggal)
   • $barx = fracsum f_i x_isum f_i$ (untuk data berkelompok, di mana $f_i$ adalah frekuensi dan $x_i$ adalah nilai tengah kelas)

2. Median: Nilai tengah dari data yang telah diurutkan.

   • Untuk data tunggal dengan jumlah ganjil: $Me = x_fracn+12$
   • Untuk data tunggal dengan jumlah genap: $Me = fracxfracn2 + xfracn2+12$
   • Untuk data berkelompok: $Me = L + left(fracfrac12n – Ffright)p$ (di mana L adalah tepi bawah kelas median, n adalah jumlah data, F adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas median, f adalah frekuensi kelas median, dan p adalah panjang interval kelas).

3. Modus (Mo): Nilai yang paling sering muncul dalam sekumpulan data.

   • Untuk data tunggal, modus dapat dilihat langsung dari data.
   • Untuk data berkelompok: $Mo = L + left(fracd_1d_1+d_2right)p$ (di mana L adalah tepi bawah kelas modus, $d_1$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya, $d_2$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya, dan p adalah panjang interval kelas).

Contoh Soal 5 (Ukuran Pemusatan Data Berkelompok):

Diberikan data hasil ulangan matematika kelas X sebagai berikut:

Nilai	Frekuensi
45-49	3
50-54	7
55-59	10
60-64	8
65-69	2

Tentukan rata-rata, median, dan modus dari data tersebut.

Pembahasan:

a. Rata-rata (Mean):
Pertama, hitung nilai tengah setiap kelas ($x_i$) dan frekuensi kumulatif.

Nilai	Frekuensi ($f_i$)	Nilai Tengah ($x_i$)	$f_i x_i$	Frekuensi Kumulatif
45-49	3	47	141	3
50-54	7	52	364	10
55-59	10	57	570	20
60-64	8	62	496	28
65-69	2	67	134	30
Jumlah	30		1705

$sum f_i = 30$
$sum f_i x_i = 1705$

$barx = fracsum f_i x_isum f_i = frac170530 approx 56.83$

b. Median:
Jumlah data (n) = 30. Posisi median adalah data ke- $frac302 = 15$.
Kelas median adalah kelas yang memuat data ke-15, yaitu kelas 55-59.

• Tepi bawah kelas median (L) = 55 – 0.5 = 54.5
• Frekuensi kumulatif sebelum kelas median (F) = 10
• Frekuensi kelas median (f) = 10
• Panjang interval kelas (p) = 54 – 50 + 1 = 5

$Me = L + left(fracfrac12n – Ffright)p = 54.5 + left(frac15 – 1010right)5$
$Me = 54.5 + left(frac510right)5 = 54.5 + 2.5 = 57$

c. Modus:
Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi tertinggi, yaitu kelas 55-59 (frekuensi 10).

• Tepi bawah kelas modus (L) = 54.5
• $d_1$ = frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sebelumnya = 10 – 7 = 3
• $d_2$ = frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sesudahnya = 10 – 8 = 2
• Panjang interval kelas (p) = 5

$Mo = L + left(fracd_1d_1+d_2right)p = 54.5 + left(frac33+2right)5$
$Mo = 54.5 + left(frac35right)5 = 54.5 + 3 = 57.5$

B. Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data memberikan gambaran tentang sejauh mana data tersebar dari nilai pusatnya.

1. Rentang (Range): Selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil.

   • $R = xtextmaks – xtextmin$

2. Variansi: Rata-rata kuadrat selisih setiap data dari rata-ratanya.

   • $s^2 = fracsum (x_i – barx)^2n-1$ (untuk sampel)
   • $sigma^2 = fracsum (x_i – mu)^2N$ (untuk populasi)

3. Simpangan Baku (Standar Deviasi): Akar kuadrat dari variansi. Memberikan ukuran sebaran data dalam satuan yang sama dengan data asli.

   • $s = sqrts^2$ (untuk sampel)
   • $sigma = sqrtsigma^2$ (untuk populasi)

Contoh Soal 6 (Rentang dan Simpangan Baku Data Tunggal):

Diberikan data hasil ujian: 7, 8, 6, 9, 5, 7, 8. Hitunglah rentang dan simpangan baku dari data tersebut.

Pembahasan:

Urutkan data: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9.
Jumlah data (n) = 7.

a. Rentang:
$R = xtextmaks – xtextmin = 9 – 5 = 4$.

b. Simpangan Baku:
Pertama, hitung rata-rata:
$barx = frac5+6+7+7+8+8+97 = frac507 approx 7.14$

Sekarang hitung selisih setiap data dari rata-rata dan kuadratnya:

Data ($x_i$)	$x_i – barx$	$(x_i – barx)^2$
5	5 – 7.14 = -2.14	4.58
6	6 – 7.14 = -1.14	1.30
7	7 – 7.14 = -0.14	0.02
7	7 – 7.14 = -0.14	0.02
8	8 – 7.14 = 0.86	0.74
8	8 – 7.14 = 0.86	0.74
9	9 – 7.14 = 1.86	3.46
Jumlah		10.86

Jumlah kuadrat selisih ($sum (x_i – barx)^2$) $approx 10.86$.

Variansi ($s^2$) = $fracsum (x_i – barx)^2n-1 = frac10.867-1 = frac10.866 approx 1.81$

Simpangan Baku ($s$) = $sqrts^2 = sqrt1.81 approx 1.35$

III. Peluang: Mengukur Kemungkinan Kejadian

Peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Konsep peluang sangat berguna dalam pengambilan keputusan di berbagai bidang.

A. Konsep Dasar Peluang

Peluang suatu kejadian A, dinotasikan $P(A)$, dihitung dengan rumus:
$P(A) = fractextJumlah hasil yang menguntungkan kejadian AtextJumlah seluruh hasil yang mungkin terjadi$

• $0 le P(A) le 1$
• Jika $P(A) = 0$, kejadian A tidak mungkin terjadi.
• Jika $P(A) = 1$, kejadian A pasti terjadi.

Contoh Soal 7 (Peluang Kejadian Sederhana):

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika diambil satu bola secara acak, berapa peluang terambilnya bola biru?

Pembahasan:

Jumlah seluruh bola = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.
Jumlah bola biru = 3.

Peluang terambilnya bola biru = $fractextJumlah bola birutextJumlah seluruh bola = frac310$.

B. Peluang Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk melibatkan lebih dari satu kejadian.

1. Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive Events): Dua kejadian disebut saling lepas jika keduanya tidak dapat terjadi bersamaan.

   • $P(A cup B) = P(A) + P(B)$

2. Kejadian Tidak Saling Lepas: Dua kejadian dapat terjadi bersamaan.

   • $P(A cup B) = P(A) + P(B) – P(A cap B)$ (di mana $P(A cap B)$ adalah peluang A dan B terjadi bersamaan).

3. Kejadian Saling Bebas (Independent Events): Kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B, dan sebaliknya.

   • $P(A cap B) = P(A) times P(B)$

4. Kejadian Bersyarat (Conditional Probability): Peluang kejadian B terjadi jika diketahui kejadian A telah terjadi.

   • $P(B|A) = fracP(A cap B)P(A)$

Contoh Soal 8 (Peluang Kejadian Majemuk – Saling Bebas):

Dua buah dadu dilempar bersamaan. Berapa peluang muncul mata dadu berjumlah 7 atau muncul mata dadu pertama angka 3?

Pembahasan:

Ruang sampel pelemparan dua dadu adalah $6 times 6 = 36$ pasangan.
Misalkan A adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 7.
Pasangan yang berjumlah 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Jumlah hasil untuk A = 6.
$P(A) = frac636 = frac16$.

Misalkan B adalah kejadian muncul mata dadu pertama angka 3.
Pasangan di mana mata dadu pertama adalah 3: (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6).
Jumlah hasil untuk B = 6.
$P(B) = frac636 = frac16$.

Apakah kejadian A dan B saling lepas atau tidak?
Perhatikan bahwa kejadian (3,4) adalah hasil yang memenuhi kedua kejadian (berjumlah 7 DAN mata dadu pertama 3). Jadi, kejadian ini tidak saling lepas.
Kejadian A dan B tidak saling bebas karena ada hasil yang sama.

Kita perlu mencari $P(A cap B)$, yaitu peluang muncul mata dadu berjumlah 7 DAN mata dadu pertama angka 3.
Satu-satunya hasil yang memenuhi kedua kondisi ini adalah (3,4).
$P(A cap B) = frac136$.

Menggunakan rumus peluang kejadian tidak saling lepas:
$P(A cup B) = P(A) + P(B) – P(A cap B)$
$P(A cup B) = frac16 + frac16 – frac136$
$P(A cup B) = frac636 + frac636 – frac136$
$P(A cup B) = frac1136$.

C. Kaidah Pencacahan (Prinsip Perkalian dan Penjumlahan)

Kaidah pencacahan digunakan untuk menentukan banyaknya cara suatu kejadian dapat terjadi.

• Prinsip Perkalian: Jika ada $m$ cara untuk melakukan tugas pertama dan $n$ cara untuk melakukan tugas kedua, maka ada $m times n$ cara untuk melakukan kedua tugas tersebut.
• Prinsip Penjumlahan: Jika ada $m$ cara untuk melakukan tugas pertama dan $n$ cara untuk melakukan tugas kedua, dan kedua tugas tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, maka ada $m + n$ cara untuk melakukan salah satu dari kedua tugas tersebut.

Contoh Soal 9 (Kaidah Pencacahan – Prinsip Perkalian):

Seorang siswa akan memilih 2 mata pelajaran dari 5 mata pelajaran yang ditawarkan dan 1 kegiatan ekstrakurikuler dari 4 kegiatan yang ada. Berapa banyak cara siswa tersebut dapat memilih?

Pembahasan:

Memilih 2 mata pelajaran dari 5 dapat dilakukan dengan kombinasi, tetapi di sini kita akan fokus pada prinsip dasar. Jika kita menganggap urutan pemilihan mata pelajaran penting, maka ada $P(5,2)$ cara. Namun, jika urutan tidak penting, kita gunakan kombinasi $C(5,2)$. Soal ini lebih mengarah pada prinsip perkalian sederhana jika diasumsikan setiap pilihan mata pelajaran dan ekstrakurikuler adalah pilihan terpisah.

Mari kita tafsirkan soal ini sebagai memilih satu dari 5 mata pelajaran dan satu dari 4 kegiatan ekstrakurikuler. Jika demikian:
Banyak cara memilih mata pelajaran = 5.
Banyak cara memilih kegiatan ekstrakurikuler = 4.

Menurut prinsip perkalian, banyak cara siswa tersebut dapat memilih adalah $5 times 4 = 20$ cara.

Catatan: Jika soal mengartikan "memilih 2 mata pelajaran dari 5", ini akan melibatkan kombinasi $C(5,2) = frac5!2!(5-2)! = 10$. Jika demikian, maka total cara adalah $C(5,2) times 4 = 10 times 4 = 40$ cara. Namun, untuk level awal, seringkali soal disederhanakan.

Penutup

Memahami konsep-konsep trigonometri, statistika, dan peluang secara mendalam akan membekali siswa dengan keterampilan analitis yang berharga. Latihan soal yang variatif dan pemahaman yang kuat terhadap setiap konsep adalah kunci keberhasilan. Dengan menguasai materi ini, siswa tidak hanya siap menghadapi ujian, tetapi juga memiliki bekal yang kokoh untuk studi lebih lanjut di jenjang pendidikan tinggi dan dalam menghadapi berbagai permasalahan di dunia nyata. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk bertanya jika menemui kesulitan.

>