Contoh soal matematika kelas 10 smk semester 2

Menguasai Matematika Kelas 10 SMK Semester 2: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasannya

Matematika, bagi sebagian siswa SMK, mungkin terasa menantang. Namun, pemahaman yang kuat terhadap konsep-konsep matematika merupakan fondasi penting untuk keberhasilan di berbagai bidang kejuruan. Memasuki semester 2 kelas 10, materi matematika yang dihadapi biasanya mulai berkembang ke arah aplikasi yang lebih konkret dan relevan dengan dunia kerja. Artikel ini hadir untuk membantu Anda menguasai materi tersebut dengan menyajikan kumpulan contoh soal matematika kelas 10 SMK semester 2 beserta pembahasan mendalamnya.

Mengapa Matematika Penting di SMK?

Sebelum kita melangkah ke contoh soal, mari kita ingatkan kembali mengapa matematika memegang peranan krusial di SMK. Banyak disiplin ilmu kejuruan, mulai dari teknik mesin, teknik komputer jaringan, akuntansi, hingga pariwisata, membutuhkan kemampuan analisis, pemecahan masalah, dan logika yang diasah melalui matematika. Konsep-konsep seperti aljabar, trigonometri, statistika, hingga peluang, seringkali menjadi alat bantu utama dalam memahami dan mengimplementasikan teknologi, menganalisis data, atau bahkan merancang sebuah sistem.

Semester 2 kelas 10 biasanya mencakup topik-topik yang merupakan kelanjutan dari materi semester 1, namun dengan kedalaman dan tingkat kesulitan yang lebih tinggi. Fokus utama seringkali terletak pada:

• Trigonometri Lanjut: Memahami hubungan antara sudut dan sisi pada segitiga, termasuk fungsi trigonometri, identitas, dan aplikasinya.
• Geometri Analitik: Menggabungkan konsep geometri dengan aljabar untuk menganalisis bentuk-bentuk seperti garis, lingkaran, dan parabola dalam koordinat Kartesius.
• Statistika dan Peluang: Mempelajari cara mengumpulkan, menyajikan, menganalisis, dan menginterpretasikan data, serta memahami konsep ketidakpastian melalui peluang.
• Fungsi dan Grafiknya: Mendalami berbagai jenis fungsi, sifat-sifatnya, dan cara memvisualisasikannya dalam bentuk grafik.

Mari kita bedah beberapa contoh soal yang mencakup topik-topik tersebut, lengkap dengan langkah-langkah penyelesaian yang mudah diikuti.

>

Bagian 1: Trigonometri Lanjut

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas 10 SMK semester 2, Anda akan menemui aplikasi trigonometri yang lebih luas.

Contoh Soal 1:

Sebuah tiang bendera setinggi 10 meter berdiri tegak di tanah datar. Seorang siswa mengamati puncak tiang bendera dari jarak 15 meter dari kaki tiang. Tentukan besar sudut elevasi siswa terhadap puncak tiang bendera!

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

1. Buat Sketsa: Gambarkan situasi yang dijelaskan. Anda akan mendapatkan segitiga siku-siku, di mana:

   • Tinggi tiang bendera adalah sisi depan (depan sudut elevasi).
   • Jarak siswa dari kaki tiang adalah sisi samping (samping sudut elevasi).
   • Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh garis pandang siswa ke puncak tiang dengan garis horizontal.

2. Identifikasi Perbandingan Trigonometri: Kita memiliki sisi depan (tinggi tiang = 10 m) dan sisi samping (jarak siswa = 15 m). Perbandingan trigonometri yang menghubungkan sisi depan dan sisi samping adalah tangen (tan).

   Rumusnya adalah:
   $ tan(theta) = fractextsisi depantextsisi samping $

3. Substitusikan Nilai:
   $ tan(theta) = frac10 text m15 text m $
   $ tan(theta) = frac23 $

4. Cari Nilai Sudut: Untuk mencari besar sudut $theta$, kita perlu menggunakan fungsi arcus tangen (atau $ tan^-1 $).

   $ theta = arctanleft(frac23right) $

   Menggunakan kalkulator saintifik atau tabel trigonometri, kita dapat menemukan nilai $theta$.
   $ theta approx 33.69^circ $

Jadi, besar sudut elevasi siswa terhadap puncak tiang bendera adalah sekitar 33.69 derajat.

Contoh Soal 2:

Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi $a = 8$ cm, $b = 10$ cm, dan sudut $C = 60^circ$. Tentukan panjang sisi $c$!

Pembahasan:

Soal ini menggunakan aturan cosinus karena kita memiliki dua sisi dan sudut yang diapitnya.

1. Aturan Cosinus: Aturan cosinus untuk mencari panjang sisi ketiga dalam segitiga adalah:
   $ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos(C) $

2. Substitusikan Nilai:
   $ c^2 = 8^2 + 10^2 – 2(8)(10) cos(60^circ) $
   $ c^2 = 64 + 100 – 160 left(frac12right) $
   (Karena $ cos(60^circ) = frac12 $)
   $ c^2 = 164 – 80 $
   $ c^2 = 84 $

3. Hitung Akar Kuadrat:
   $ c = sqrt84 $
   $ c = sqrt4 times 21 $
   $ c = 2sqrt21 $ cm

Jadi, panjang sisi $c$ adalah $2sqrt21$ cm.

>

Bagian 2: Geometri Analitik

Geometri analitik menggabungkan aljabar dan geometri untuk mempelajari bentuk-bentuk geometris menggunakan sistem koordinat.

Contoh Soal 3:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik $A(2, -3)$ dan $B(5, 1)$!

Pembahasan:

Untuk menentukan persamaan garis, kita memerlukan gradien (kemiringan) garis dan salah satu titik yang dilalui.

1. Hitung Gradien (m): Gradien garis yang melalui dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ dihitung dengan rumus:
   $ m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1 $

   Dengan $A(2, -3)$ sebagai $(x_1, y_1)$ dan $B(5, 1)$ sebagai $(x_2, y_2)$:
   $ m = frac1 – (-3)5 – 2 $
   $ m = frac1 + 33 $
   $ m = frac43 $

2. Gunakan Rumus Persamaan Garis: Persamaan garis yang melalui satu titik $(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$ adalah:
   $ y – y_1 = m(x – x_1) $

   Kita bisa menggunakan titik A(2, -3) dan gradien $m = frac43$:
   $ y – (-3) = frac43(x – 2) $
   $ y + 3 = frac43(x – 2) $

3. Sederhanakan Persamaan: Untuk menghilangkan pecahan, kalikan kedua sisi dengan 3:
   $ 3(y + 3) = 4(x – 2) $
   $ 3y + 9 = 4x – 8 $

   Susun ulang persamaan menjadi bentuk umum $Ax + By + C = 0$ atau $y = mx + c$:
   $ 4x – 3y – 8 – 9 = 0 $
   $ 4x – 3y – 17 = 0 $

Jadi, persamaan garis yang melalui titik A dan B adalah $4x – 3y – 17 = 0$.

Contoh Soal 4:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 – 6x + 8y – 11 = 0$!

Pembahasan:

Persamaan lingkaran umum adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a, b)$ adalah pusat dan $r$ adalah jari-jari. Kita akan mengubah persamaan yang diberikan menjadi bentuk ini dengan melengkapkan kuadrat.

1. Kelompokkan Suku: Kelompokkan suku-suku yang mengandung $x$ dan $y$:
   $ (x^2 – 6x) + (y^2 + 8y) = 11 $

2. Lengkapkan Kuadrat:

   • Untuk suku $x$: Ambil koefisien $x$ (-6), bagi dengan 2 (-3), lalu kuadratkan (9). Tambahkan 9 ke kedua sisi.
   • Untuk suku $y$: Ambil koefisien $y$ (8), bagi dengan 2 (4), lalu kuadratkan (16). Tambahkan 16 ke kedua sisi.

   $ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 11 + 9 + 16 $

3. Bentuk Persamaan Kuadrat Sempurna:
   $ (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 36 $

4. Identifikasi Pusat dan Jari-jari: Bandingkan dengan bentuk umum $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$:

   • $x – 3 = x – a implies a = 3$
   • $y + 4 = y – b implies b = -4$
   • $r^2 = 36 implies r = sqrt36 = 6$

Jadi, pusat lingkaran adalah $(3, -4)$ dan jari-jarinya adalah 6.

>

Bagian 3: Statistika dan Peluang

Statistika membantu kita memahami data, sementara peluang membantu kita mengukur ketidakpastian.

Contoh Soal 5:

Dari data tinggi badan 10 siswa (dalam cm) berikut: 165, 170, 160, 175, 168, 172, 160, 170, 175, 168. Tentukan:
a. Rata-rata (mean)
b. Median
c. Modus

Pembahasan:

a. Rata-rata (Mean): Jumlah semua data dibagi dengan banyaknya data.
Jumlah data = 165 + 170 + 160 + 175 + 168 + 172 + 160 + 170 + 175 + 168 = 1683
Banyaknya data = 10
Mean = $ frac168310 = 168.3 $ cm

b. Median: Nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
Urutkan data: 160, 160, 165, 168, 168, 170, 170, 172, 175, 175
Karena banyaknya data genap (10), median adalah rata-rata dari dua data tengah (data ke-5 dan data ke-6).
Data ke-5 = 168
Data ke-6 = 170
Median = $ frac168 + 1702 = frac3382 = 169 $ cm

c. Modus: Nilai yang paling sering muncul dalam data.
Dalam data ini, nilai 160 muncul 2 kali, 168 muncul 2 kali, 170 muncul 2 kali, dan 175 muncul 2 kali. Nilai 165 dan 172 muncul 1 kali.
Karena beberapa nilai muncul dengan frekuensi tertinggi yang sama, maka data ini memiliki beberapa modus. Modus dari data ini adalah 160, 168, 170, dan 175.

Jadi, rata-ratanya adalah 168.3 cm, mediannya adalah 169 cm, dan modusnya adalah 160, 168, 170, 175 cm.

Contoh Soal 6:

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua bola secara acak tanpa pengembalian, tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua!

Pembahasan:

Ini adalah contoh peluang kejadian bersyarat.

1. Peluang Bola Merah pada Pengambilan Pertama:
   Jumlah bola merah = 5
   Jumlah total bola = 5 + 3 = 8
   $ P(textMerah pertama) = fractextJumlah bola merahtextJumlah total bola = frac58 $

2. Peluang Bola Biru pada Pengambilan Kedua (setelah bola merah terambil):
   Setelah satu bola merah terambil, jumlah bola dalam kotak berkurang menjadi 7. Jumlah bola biru tetap 3.
   Jumlah bola biru = 3
   Jumlah total bola sisa = 7
   $ P(textBiru kedua ) = fractextJumlah bola birutextJumlah total bola sisa = frac37 $

3. Peluang Kejadian Bersama: Peluang kedua kejadian ini terjadi berturut-turut adalah perkalian kedua peluang tersebut.
   $ P(textMerah pertama dan Biru kedua) = P(textMerah pertama) times P(text Merah pertama) $
   $ P(textMerah pertama dan Biru kedua) = frac58 times frac37 $
   $ P(textMerah pertama dan Biru kedua) = frac1556 $

Jadi, peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua adalah $ frac1556 $.

>

Bagian 4: Fungsi dan Grafiknya

Memahami berbagai jenis fungsi dan bagaimana memvisualisasikannya melalui grafik adalah kunci untuk menganalisis hubungan antar variabel.

Contoh Soal 7:

Diketahui fungsi $f(x) = 2x^2 – 4x + 5$. Tentukan:
a. Titik puncak parabola
b. Persamaan sumbu simetri

Pembahasan:

Fungsi $f(x) = 2x^2 – 4x + 5$ adalah fungsi kuadrat dengan bentuk umum $ax^2 + bx + c$.

a. Titik Puncak Parabola: Titik puncak $(x_p, y_p)$ dari parabola $ax^2 + bx + c$ dapat dihitung dengan rumus:
$ x_p = frac-b2a $

Dari fungsi $f(x) = 2x^2 - 4x + 5$, kita punya $a=2$, $b=-4$, $c=5$.
$ x_p = frac-(-4)2(2) = frac44 = 1 $

Untuk mencari nilai $y_p$, substitusikan $x_p$ ke dalam fungsi $f(x)$:
$ y_p = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 $
$ y_p = 2(1) - 4 + 5 $
$ y_p = 2 - 4 + 5 = 3 $

Jadi, titik puncaknya adalah $(1, 3)$.

b. Persamaan Sumbu Simetri: Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melewati titik puncak. Persamaan sumbu simetri adalah $x = x_p$.
Dari perhitungan di atas, $x_p = 1$.

Jadi, persamaan sumbu simetrinya adalah $x = 1$.

Jadi, titik puncak parabola adalah (1, 3) dan persamaan sumbu simetrinya adalah x = 1.

Contoh Soal 8:

Gambarlah grafik fungsi $g(x) = -2x + 4$ untuk domain $-2 le x le 3$!

Pembahasan:

Fungsi $g(x) = -2x + 4$ adalah fungsi linear. Grafik fungsi linear adalah garis lurus.

1. Tentukan Titik Ujung Domain:

   • Untuk $x = -2$: $g(-2) = -2(-2) + 4 = 4 + 4 = 8$. Titik pertama adalah $(-2, 8)$.
   • Untuk $x = 3$: $g(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2$. Titik kedua adalah $(3, -2)$.

2. Tentukan Titik Lain (Opsional, untuk memastikan): Kita bisa memilih titik lain di antara domain, misalnya $x = 0$.

   • Untuk $x = 0$: $g(0) = -2(0) + 4 = 0 + 4 = 4$. Titik ketiga adalah $(0, 4)$.

3. Gambar Grafik:

   • Buat sistem koordinat Kartesius (sumbu x dan sumbu y).
   • Tandai titik-titik yang telah dihitung: $(-2, 8)$, $(0, 4)$, dan $(3, -2)$.
   • Hubungkan titik-titik tersebut dengan garis lurus. Karena domainnya adalah interval tertutup, garisnya adalah segmen garis yang menghubungkan kedua titik ujung.

Grafik akan menunjukkan sebuah garis lurus menurun dari kiri atas ke kanan bawah, dimulai dari titik (-2, 8) dan berakhir di titik (3, -2).

>

Penutup:

Memahami dan berlatih mengerjakan contoh soal adalah kunci utama dalam menguasai materi matematika kelas 10 SMK semester 2. Topik-topik yang dibahas dalam artikel ini mencakup area penting yang akan sering Anda jumpai. Ingatlah bahwa setiap soal memiliki langkah-langkah penyelesaian logis. Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain, berkonsultasi dengan guru, atau mencari sumber belajar tambahan. Dengan ketekunan dan latihan yang konsisten, Anda pasti dapat meraih hasil yang optimal dalam pelajaran matematika. Selamat belajar!

>