Contoh soal matematika kelas 11 ips semester 2

Menguasai Matematika Kelas 11 IPS Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, sesungguhnya merupakan kunci untuk memahami dunia di sekitar kita. Bagi siswa kelas 11 program Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS), penguasaan konsep matematika tidak hanya penting untuk kelancaran studi di jenjang selanjutnya, tetapi juga untuk mengasah kemampuan berpikir logis, analitis, dan problem-solving yang sangat dibutuhkan dalam berbagai bidang IPS.

Semester 2 kelas 11 IPS biasanya mencakup materi-materi yang lebih mendalam dan aplikatif, yang seringkali berhubungan dengan analisis data, probabilitas, dan konsep-konsep yang relevan dengan ekonomi, geografi, sosiologi, dan sejarah. Memahami materi ini dengan baik akan memberikan bekal yang kokoh bagi siswa dalam menavigasi kompleksitas informasi dan membuat keputusan yang terinformasi.

Artikel ini akan membahas secara mendalam beberapa contoh soal matematika kelas 11 IPS semester 2, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah. Tujuannya adalah untuk memberikan pemahaman yang komprehensif, membantu siswa mengidentifikasi area yang perlu diperkuat, dan membangun kepercayaan diri dalam menghadapi ujian maupun tantangan akademis lainnya.

Materi Utama Matematika Kelas 11 IPS Semester 2

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali materi-materi utama yang umumnya diajarkan pada semester 2 kelas 11 IPS. Materi-materi ini biasanya meliputi:

1. Statistika: Meliputi ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, desil, persentil, simpangan baku), serta penyajian data dalam bentuk tabel dan diagram.
2. Peluang: Meliputi konsep dasar peluang, kejadian majemuk (saling lepas, tidak saling lepas, saling bebas, tidak saling bebas), serta aturan pencacahan (permutasi dan kombinasi).
3. Logika Matematika: Meliputi pernyataan, negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, serta aturan penarikan kesimpulan (modus ponens, modus tollens, silogisme).
4. Program Linear: Meliputi membuat model matematika dari masalah kontekstual, menentukan daerah penyelesaian (DP) dari sistem pertidaksamaan linear, dan mencari nilai optimum (maksimum atau minimum) menggunakan metode grafik atau uji titik pojok.

Mari kita bedah beberapa contoh soal dari materi-materi tersebut.

>

Contoh Soal 1: Statistika Deskriptif (Ukuran Pemusatan dan Penyebaran)

Soal:

Tabel berikut menyajikan data nilai ulangan matematika 40 siswa kelas XI IPS:

Nilai	Frekuensi
50-59	4
60-69	10
70-79	15
80-89	7
90-99	4

Tentukan:
a. Modus dari data tersebut.
b. Median dari data tersebut.
c. Simpangan baku dari data tersebut.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan rumus-rumus statistika untuk data berkelompok.

a. Modus (Mo)

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Untuk data berkelompok, modus dihitung menggunakan rumus:

$Mo = Tb + (fracd1d1+d2) times p$

Dimana:

• $Tb$ = Tepi bawah kelas modus
• $d1$ = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya
• $d2$ = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya
• $p$ = Panjang interval kelas

Langkah-langkah:

1. Identifikasi kelas modus: Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah kelas 70-79 dengan frekuensi 15.
2. Tentukan $Tb$: Tepi bawah kelas 70-79 adalah $70 – 0.5 = 69.5$.
3. Tentukan $d1$: $d1 = 15 – 10 = 5$.
4. Tentukan $d2$: $d2 = 15 – 7 = 8$.
5. Tentukan $p$: Panjang interval kelas (misalnya 60-69) adalah $69 – 60 + 1 = 10$.

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus:

$Mo = 69.5 + (frac55+8) times 10$
$Mo = 69.5 + (frac513) times 10$
$Mo = 69.5 + frac5013$
$Mo approx 69.5 + 3.85$
$Mo approx 73.35$

Jadi, modus dari data tersebut adalah sekitar 73.35.

b. Median (Me)

Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Untuk data berkelompok, median dihitung menggunakan rumus:

$Me = Tb + (frac1/2 n – Fkf) times p$

Dimana:

• $Tb$ = Tepi bawah kelas median
• $n$ = Jumlah seluruh frekuensi
• $Fk$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
• $f$ = Frekuensi kelas median
• $p$ = Panjang interval kelas

Langkah-langkah:

1. Tentukan $n$: $n = 4 + 10 + 15 + 7 + 4 = 40$.

2. Tentukan posisi median: Posisi median adalah $frac12 n = frac12 times 40 = 20$. Kita mencari data ke-20.

3. Buat tabel frekuensi kumulatif:

   Nilai	Frekuensi	Frekuensi Kumulatif
   50-59	4	4
   60-69	10	14
   70-79	15	29
   80-89	7	36
   90-99	4	40

4. Identifikasi kelas median: Data ke-20 berada di kelas 70-79 karena frekuensi kumulatifnya adalah 29, yang mencakup posisi ke-20.

5. Tentukan $Tb$: Tepi bawah kelas 70-79 adalah $70 – 0.5 = 69.5$.

6. Tentukan $Fk$: Frekuensi kumulatif sebelum kelas median (kelas 60-69) adalah 14.

7. Tentukan $f$: Frekuensi kelas median (kelas 70-79) adalah 15.

8. Tentukan $p$: Panjang interval kelas adalah 10.

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus:

$Me = 69.5 + (frac20 – 1415) times 10$
$Me = 69.5 + (frac615) times 10$
$Me = 69.5 + (frac25) times 10$
$Me = 69.5 + 4$
$Me = 73.5$

Jadi, median dari data tersebut adalah 73.5.

c. Simpangan Baku (s)

Simpangan baku mengukur seberapa tersebar data dari nilai rata-ratanya. Untuk data berkelompok, simpangan baku dihitung menggunakan rumus:

$s = sqrtfracsum(xi – barx)^2 fin-1$ atau $s = sqrtfracsum xi^2 fi – (sum xi fi)^2/nn-1$

Kita akan menggunakan rumus kedua yang lebih praktis untuk perhitungan.

Langkah-langkah:

1. Hitung nilai tengah ($xi$) untuk setiap kelas.
2. Hitung $xi times fi$.
3. Hitung $(xi times fi)^2$.
4. Hitung $xi^2 times fi$.
5. Jumlahkan hasil perhitungan.

Nilai	Frekuensi ($fi$)	$xi$	$xi times fi$	$xi^2 times fi$
50-59	4	54.5	218	11881
60-69	10	64.5	645	41602.5
70-79	15	74.5	1117.5	83191.25
80-89	7	84.5	591.5	50176.75
90-99	4	94.5	378	35910
Jumlah	40		2949.5	222761.5

1. Hitung rata-rata ($barx$):
   $barx = fracsum xi fin = frac2949.540 = 73.7375$

2. Hitung simpangan baku:
   $s = sqrtfrac222761.5 – (2949.5)^2/4040-1$
   $s = sqrtfrac222761.5 – 8700050.25/4039$
   $s = sqrtfrac222761.5 – 217501.2562539$
   $s = sqrtfrac5260.2437539$
   $s = sqrt134.87804…$
   $s approx 11.61$

Jadi, simpangan baku dari data tersebut adalah sekitar 11.61.

>

Contoh Soal 2: Peluang Kejadian Majemuk

Soal:

Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya:
a. Bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua.
b. Kedua bola berwarna sama.

Pembahasan:

Ini adalah contoh peluang kejadian majemuk tanpa pengembalian.

a. Peluang bola merah pertama dan bola biru kedua (M1 dan B2)

• Jumlah bola awal = 5 merah + 3 biru = 8 bola.

• Peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama (P(M1)):
  $P(M1) = fractextJumlah bola merahtextJumlah bola awal = frac58$

• Setelah bola merah pertama diambil dan tidak dikembalikan, sisa bola adalah 4 merah dan 3 biru, total 7 bola.

• Peluang terambil bola biru pada pengambilan kedua (P(B2 | M1)):
  $P(B2 | M1) = fractextJumlah bola birutextJumlah bola sisa = frac37$

• Peluang terambil bola merah pertama DAN bola biru kedua adalah hasil perkalian kedua peluang tersebut (karena kejadiannya berurutan dan saling mempengaruhi):
  $P(M1 text dan B2) = P(M1) times P(B2 | M1)$
  $P(M1 text dan B2) = frac58 times frac37 = frac1556$

Jadi, peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua adalah $frac1556$.

b. Peluang kedua bola berwarna sama

Kejadian "kedua bola berwarna sama" berarti bisa terjadi dua skenario:

1. Kedua bola merah (M1 dan M2).
2. Kedua bola biru (B1 dan B2).

Kita akan menghitung peluang masing-masing skenario dan menjumlahkannya (karena kedua skenario ini adalah kejadian yang saling lepas).

• Skenario 1: Kedua bola merah (M1 dan M2)

  • Peluang bola merah pertama (P(M1)) = $frac58$
  • Setelah bola merah pertama diambil, sisa bola adalah 4 merah dan 3 biru (7 bola).
  • Peluang bola merah kedua (P(M2 | M1)) = $frac47$
  • Peluang kedua bola merah = $P(M1) times P(M2 | M1) = frac58 times frac47 = frac2056$

• Skenario 2: Kedua bola biru (B1 dan B2)

  • Peluang bola biru pertama (P(B1)) = $frac38$
  • Setelah bola biru pertama diambil, sisa bola adalah 5 merah dan 2 biru (7 bola).
  • Peluang bola biru kedua (P(B2 | B1)) = $frac27$
  • Peluang kedua bola biru = $P(B1) times P(B2 | B1) = frac38 times frac27 = frac656$

• Peluang kedua bola berwarna sama adalah jumlah peluang kedua skenario:
  $P(textKedua bola sama) = P(textM1 dan M2) + P(textB1 dan B2)$
  $P(textKedua bola sama) = frac2056 + frac656 = frac2656$

Peluang ini dapat disederhanakan menjadi $frac1328$.

Jadi, peluang kedua bola berwarna sama adalah $frac2656$ atau $frac1328$.

>

Contoh Soal 3: Logika Matematika

Soal:

Diketahui premis-premis berikut:

1. Jika hari ini hujan, maka tanah menjadi basah.
2. Hari ini hujan.

Tentukan kesimpulan dari premis-premis tersebut menggunakan aturan penarikan kesimpulan yang tepat.

Pembahasan:

Soal ini menguji pemahaman tentang aturan penarikan kesimpulan dalam logika matematika. Mari kita identifikasi bentuk logis dari premis-premis tersebut.

Misalkan:

• $p$: Hari ini hujan.
• $q$: Tanah menjadi basah.

Premis 1 dapat ditulis sebagai implikasi: $p implies q$ (Jika $p$, maka $q$).
Premis 2 adalah pernyataan tunggal: $p$.

Kita memiliki struktur:

1. $p implies q$

2. $p$

   Kesimpulan: …?

Struktur ini sesuai dengan aturan penarikan kesimpulan yang dikenal sebagai Modus Ponens. Modus Ponens menyatakan bahwa jika kita memiliki sebuah implikasi ($p implies q$) dan kita tahu bahwa antesedennya ($p$) benar, maka kita dapat menyimpulkan bahwa konsekuennya ($q$) juga benar.

Mengaplikasikan Modus Ponens pada premis yang diberikan:

• Jika hari ini hujan ($p$), maka tanah menjadi basah ($q$).
• Hari ini hujan ($p$).

Maka, kesimpulannya adalah:

• Tanah menjadi basah ($q$).

Kesimpulan: Tanah menjadi basah.

>

Contoh Soal 4: Program Linear

Soal:

Seorang pedagang buah ingin membeli tidak kurang dari 50 buah mangga. Mangga jenis A dibeli dengan harga Rp 2.000 per buah dan mangga jenis B dibeli dengan harga Rp 1.500 per buah. Modal yang dimiliki pedagang tersebut adalah Rp 105.000. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut, dan tentukan jumlah maksimum mangga jenis A yang dapat dibeli jika pedagang tersebut ingin memaksimalkan jumlah mangga jenis A.

Pembahasan:

Langkah pertama adalah mendefinisikan variabel dan membuat pertidaksamaan berdasarkan informasi yang diberikan.

Misalkan:

• $x$ = jumlah mangga jenis A yang dibeli.
• $y$ = jumlah mangga jenis B yang dibeli.

Berdasarkan soal, kita dapat membuat pertidaksamaan berikut:

1. Jumlah mangga tidak kurang dari 50 buah:
   Jumlah mangga jenis A ditambah jumlah mangga jenis B harus lebih besar dari atau sama dengan 50.
   $x + y ge 50$

2. Modal yang dimiliki pedagang:
   Harga mangga jenis A ($2.000x$) ditambah harga mangga jenis B ($1.500y$) tidak boleh melebihi modal yang dimiliki ($105.000$).
   $2000x + 1500y le 105000$
   Kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan ini dengan membagi semua suku dengan 500:
   $4x + 3y le 210$

3. Batasan jumlah buah (non-negatif):
   Jumlah mangga tidak mungkin negatif.
   $x ge 0$
   $y ge 0$

Model Matematika:

Sistem pertidaksamaan linear yang membentuk model matematika dari permasalahan ini adalah:

• $x + y ge 50$
• $4x + 3y le 210$
• $x ge 0$
• $y ge 0$

Menentukan Jumlah Maksimum Mangga Jenis A:

Pedagang ingin memaksimalkan jumlah mangga jenis A, yang berarti kita ingin mencari nilai $x$ terbesar yang memenuhi sistem pertidaksamaan ini. Untuk mencari nilai maksimum, kita bisa menggunakan metode grafik atau uji titik pojok. Namun, karena kita hanya ingin memaksimalkan $x$, kita bisa fokus pada batasan yang membatasi nilai $x$.

Mari kita coba mencari titik potong dari kedua pertidaksamaan utama:
(1) $x + y = 50 implies y = 50 – x$
(2) $4x + 3y = 210$

Substitusikan $y$ dari persamaan (1) ke persamaan (2):
$4x + 3(50 – x) = 210$
$4x + 150 – 3x = 210$
$x + 150 = 210$
$x = 210 – 150$
$x = 60$

Jika $x = 60$, maka $y = 50 – 60 = -10$.
Namun, $y$ tidak boleh negatif ($y ge 0$). Ini menunjukkan bahwa titik potong ini berada di luar daerah penyelesaian yang valid secara fisik.

Kita perlu melihat daerah penyelesaian dari kedua pertidaksamaan.

• $x + y ge 50$: Daerah di atas garis $x+y=50$.
• $4x + 3y le 210$: Daerah di bawah garis $4x+3y=210$.

Untuk mencari nilai $x$ maksimum, kita perlu mencari titik di daerah penyelesaian di mana nilai $x$ paling besar. Titik pojok yang relevan dalam konteks ini adalah titik-titik yang membatasi daerah penyelesaian.

Titik potong garis $x+y=50$ dengan sumbu x ($y=0$): $x = 50$. Titik (50, 0).
Titik potong garis $4x+3y=210$ dengan sumbu x ($y=0$): $4x = 210 implies x = 52.5$. Titik (52.5, 0).

Titik potong garis $x+y=50$ dengan sumbu y ($x=0$): $y = 50$. Titik (0, 50).
Titik potong garis $4x+3y=210$ dengan sumbu y ($x=0$): $3y = 210 implies y = 70$. Titik (0, 70).

Titik potong antara $x+y=50$ dan $4x+3y=210$: Kita sudah hitung $x=60$, $y=-10$. Ini tidak valid.
Mari kita periksa kembali perhitungan titik potong.
$x + y = 50 implies y = 50-x$
$4x + 3(50-x) = 210$
$4x + 150 – 3x = 210$
$x = 60$
$y = 50 – 60 = -10$.

Ada kesalahan dalam pemahaman atau soal. Mari kita analisis kembali batasan.
Kita ingin memaksimalkan $x$. Nilai $x$ dibatasi oleh kedua pertidaksamaan.

Pertimbangkan titik potong antara $4x+3y=210$ dengan sumbu x, yaitu $x=52.5$ (ketika $y=0$). Pada titik ini, $x+y = 52.5+0 = 52.5$, yang memenuhi $x+y ge 50$.
Jadi, titik (52.5, 0) adalah titik pojok yang valid.

Pertimbangkan titik potong antara $x+y=50$ dengan sumbu x, yaitu $x=50$ (ketika $y=0$). Pada titik ini, $4x+3y = 4(50)+3(0) = 200$, yang memenuhi $4x+3y le 210$.
Jadi, titik (50, 0) adalah titik pojok yang valid.

Titik potong antara $4x+3y=210$ dan $x+y=50$ sebenarnya ada di daerah yang relevan jika kita memplotnya.
Garis $x+y=50$ memotong sumbu x di (50,0) dan sumbu y di (0,50).
Garis $4x+3y=210$ memotong sumbu x di (52.5,0) dan sumbu y di (0,70).

Daerah penyelesaian adalah area di atas $x+y=50$ dan di bawah $4x+3y=210$.
Kita mencari nilai $x$ maksimum. Perhatikan bahwa untuk $y=0$, nilai $x$ yang mungkin adalah $x ge 50$ (dari $x+y ge 50$) dan $x le 52.5$ (dari $4x+3y le 210$). Jadi, ketika $y=0$, nilai $x$ bisa mencapai 52.5.

Apakah ada titik lain yang memberikan nilai $x$ lebih besar?
Jika kita perbesar $x$, maka $y$ harus mengecil agar $x+y ge 50$.
Jika $x$ terus membesar, $y$ bisa menjadi nol.

Nilai $x$ maksimum akan terjadi pada salah satu titik pojok dari daerah penyelesaian. Titik pojok yang relevan adalah:

1. Titik potong $4x+3y=210$ dengan sumbu x (karena ini memberikan nilai $x$ terbesar di sumbu x): (52.5, 0).
   Pada titik ini, $x=52.5$ dan $y=0$.
   Cek pertidaksamaan:
   $x+y = 52.5 + 0 = 52.5 ge 50$ (Terpenuhi)
   $4x+3y = 4(52.5) + 3(0) = 210 le 210$ (Terpenuhi)
   $x ge 0$, $y ge 0$ (Terpenuhi)

Karena jumlah mangga harus bilangan bulat, maka nilai $x$ maksimum yang mungkin adalah 52.

Jika $x=52$, maka dari $4x+3y le 210$:
$4(52) + 3y le 210$
$208 + 3y le 210$
$3y le 2$
$y le frac23$

Dari $x+y ge 50$:
$52 + y ge 50$
$y ge -2$ (ini selalu terpenuhi karena $y ge 0$).

Jadi, jika $x=52$, maka $y$ bisa berupa bilangan bulat 0.
Titik (52, 0) memenuhi semua kondisi:
$x+y = 52+0 = 52 ge 50$
$4x+3y = 4(52) + 3(0) = 208 le 210$
$x ge 0, y ge 0$.

Jika kita mencoba $x=53$:
$4(53) + 3y le 210$
$212 + 3y le 210$
$3y le -2$
$y le -frac23$. Ini tidak mungkin karena $y ge 0$.

Oleh karena itu, jumlah maksimum mangga jenis A yang dapat dibeli adalah 52 buah.

>

Penutup

Memahami contoh-contoh soal di atas dan cara penyelesaiannya adalah langkah krusial dalam menguasai materi matematika kelas 11 IPS semester 2. Ingatlah bahwa latihan adalah kunci. Cobalah untuk memvariasikan angka dalam soal-soal ini, atau mencari soal-soal serupa dari buku teks atau sumber belajar lainnya.

Setiap jenis soal memiliki karakteristik dan strategi penyelesaiannya sendiri. Dengan pemahaman yang kuat terhadap konsep dasar, kemampuan analisis, dan latihan yang konsisten, matematika tidak lagi menjadi momok, melainkan menjadi alat yang ampuh untuk memahami dunia dan memecahkan masalah.

Semoga artikel ini bermanfaat dan dapat membantu Anda meraih hasil yang optimal dalam studi matematika Anda. Selamat belajar!