Contoh soal matematika kelas 11 semester 2 beserta jawabannya

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Semester 2 kelas 11 merupakan periode krusial dalam perjalanan pembelajaran matematika. Materi yang disajikan semakin kompleks dan mendasar, menjadi fondasi penting untuk pemahaman materi di tingkat yang lebih tinggi, termasuk persiapan ujian masuk perguruan tinggi. Memahami konsep-konsep yang diajarkan dan mampu menerapkannya dalam berbagai soal latihan adalah kunci keberhasilan.

Artikel ini hadir sebagai panduan komprehensif bagi siswa kelas 11 dalam menghadapi materi matematika semester 2. Kami akan menyajikan berbagai contoh soal yang mencakup topik-topik penting, dilengkapi dengan pembahasan mendalam dan langkah-langkah penyelesaian yang mudah dipahami. Dengan fokus pada pemahaman konsep dan strategi penyelesaian, diharapkan artikel ini dapat membantu siswa meraih hasil optimal.

Topik-Topik Utama Matematika Kelas 11 Semester 2

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali topik-topik utama yang umumnya dibahas dalam matematika kelas 11 semester 2:

1. Statistika (Lanjutan): Mencakup ukuran pemusatan (mean, median, modus) untuk data berkelompok, ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, desil, persentil), dan probabilitas.
2. Peluang (Lanjutan): Meliputi kaidah pencacahan (permutasi dan kombinasi), ruang sampel, kejadian, peluang suatu kejadian, dan peluang kejadian majemuk.
3. Trigonometri (Lanjutan): Membahas identitas trigonometri, persamaan trigonometri, dan aplikasi trigonometri dalam pemecahan masalah (misalnya, luas segitiga, aturan sinus, aturan cosinus).
4. Geometri Ruang: Mempelajari kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, jarak antara titik, garis, dan bidang, serta sudut antara garis dan bidang, garis dan garis, serta bidang dan bidang.

Mari kita selami contoh-contoh soal dari setiap topik tersebut.

>

Contoh Soal 1: Statistika (Data Berkelompok)

Soal: Data hasil ulangan harian matematika kelas XI disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut:

Nilai	Frekuensi
50 – 59	4
60 – 69	7
70 – 79	12
80 – 89	9
90 – 99	3

Tentukan:
a. Mean (Rata-rata) nilai ulangan.
b. Median nilai ulangan.
c. Modus nilai ulangan.

Pembahasan:

a. Menentukan Mean (Rata-rata) Data Berkelompok

Rumus mean untuk data berkelompok adalah:
$$ barx = fracsum (f_i cdot x_i)sum f_i $$
dimana:

• $f_i$ adalah frekuensi kelas ke-i
• $x_i$ adalah nilai tengah kelas ke-i

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Tentukan nilai tengah ($x_i$) setiap kelas:

   • Kelas 50-59: $x_1 = frac50+592 = 54.5$
   • Kelas 60-69: $x_2 = frac60+692 = 64.5$
   • Kelas 70-79: $x_3 = frac70+792 = 74.5$
   • Kelas 80-89: $x_4 = frac80+892 = 84.5$
   • Kelas 90-99: $x_5 = frac90+992 = 94.5$

2. Hitung hasil perkalian $f_i cdot x_i$ untuk setiap kelas:

   • $f_1 cdot x_1 = 4 cdot 54.5 = 218$
   • $f_2 cdot x_2 = 7 cdot 64.5 = 451.5$
   • $f_3 cdot x_3 = 12 cdot 74.5 = 894$
   • $f_4 cdot x_4 = 9 cdot 84.5 = 760.5$
   • $f_5 cdot x_5 = 3 cdot 94.5 = 283.5$

3. Hitung jumlah total frekuensi ($sum f_i$):
   $sum f_i = 4 + 7 + 12 + 9 + 3 = 35$

4. Hitung jumlah total hasil perkalian ($sum (f_i cdot x_i)$):
   $sum (f_i cdot x_i) = 218 + 451.5 + 894 + 760.5 + 283.5 = 2607.5$

5. Hitung mean:
   $barx = frac2607.535 approx 74.5$

Jadi, mean nilai ulangan adalah sekitar 74.5.

b. Menentukan Median Nilai Ulangan

Rumus median untuk data berkelompok adalah:
$$ textMedian = TB + left(fracfrac12n – Ffright)p $$
dimana:

• $TB$ = Tepi bawah kelas median
• $n$ = Jumlah seluruh data (total frekuensi)
• $F$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
• $f$ = Frekuensi kelas median
• $p$ = Panjang interval kelas

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Tentukan posisi median: Posisi median berada di data ke $frac12n = frac12 cdot 35 = 17.5$. Ini berarti median berada di data ke-18.

2. Tentukan kelas median: Kita perlu mencari kelas yang memuat data ke-18. Mari kita hitung frekuensi kumulatifnya:

   • 50-59: 4
   • 60-69: 4 + 7 = 11
   • 70-79: 11 + 12 = 23 (Kelas ini memuat data ke-18)
     Jadi, kelas median adalah 70-79.

3. Identifikasi nilai-nilai yang dibutuhkan:

   • $TB$ = Tepi bawah kelas median = $70 – 0.5 = 69.5$
   • $n$ = 35
   • $F$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 11
   • $f$ = Frekuensi kelas median = 12
   • $p$ = Panjang interval kelas = $59 – 50 + 1 = 10$ (atau $69-60+1$, dst.)

4. Hitung Median:
   Median $= 69.5 + left(frac17.5 – 1112right)10$
   Median $= 69.5 + left(frac6.512right)10$
   Median $= 69.5 + (0.5417)10$
   Median $= 69.5 + 5.417$
   Median $approx 74.917$

Jadi, median nilai ulangan adalah sekitar 74.917.

c. Menentukan Modus Nilai Ulangan

Rumus modus untuk data berkelompok adalah:
$$ textModus = TB + left(fracd_1d_1 + d_2right)p $$
dimana:

• $TB$ = Tepi bawah kelas modus
• $d_1$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
• $d_2$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
• $p$ = Panjang interval kelas

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Tentukan kelas modus: Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi tertinggi. Dalam tabel, kelas 70-79 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12.

2. Identifikasi nilai-nilai yang dibutuhkan:

   • $TB$ = Tepi bawah kelas modus = $70 – 0.5 = 69.5$
   • $d_1$ = Frekuensi kelas modus (12) – Frekuensi kelas sebelumnya (7) = $12 – 7 = 5$
   • $d_2$ = Frekuensi kelas modus (12) – Frekuensi kelas sesudahnya (9) = $12 – 9 = 3$
   • $p$ = Panjang interval kelas = 10

3. Hitung Modus:
   Modus $= 69.5 + left(frac55 + 3right)10$
   Modus $= 69.5 + left(frac58right)10$
   Modus $= 69.5 + (0.625)10$
   Modus $= 69.5 + 6.25$
   Modus $= 75.75$

Jadi, modus nilai ulangan adalah 75.75.

>

Contoh Soal 2: Peluang (Kaidah Pencacahan dan Peluang Kejadian Majemuk)

Soal:
a. Dari 5 orang calon pengurus inti OSIS (Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, Bendahara, Humas), berapa banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk jika setiap orang hanya boleh memegang satu jabatan?
b. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak, berapa peluang terambilnya:
i. Ketiga bola berwarna merah.
ii. Dua bola merah dan satu bola hijau.

Pembahasan:

a. Menentukan Banyak Susunan Pengurus (Permutasi)

Soal ini berkaitan dengan penyusunan objek yang urutannya penting. Ini adalah kasus permutasi.

Rumus permutasi $n$ objek yang diambil $r$ objek adalah:
$$ P(n, r) = fracn!(n-r)! $$

Dalam soal ini:

• $n$ = jumlah calon pengurus = 5
• $r$ = jumlah jabatan yang akan diisi = 5

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Identifikasi jenis masalah: Karena urutan pemilihan pengurus penting (misalnya, A sebagai Ketua dan B sebagai Wakil Ketua berbeda dengan B sebagai Ketua dan A sebagai Wakil Ketua), maka ini adalah permutasi.

2. Hitung menggunakan rumus permutasi:
   $P(5, 5) = frac5!(5-5)! = frac5!0! = frac5 times 4 times 3 times 2 times 11 = 120$

   Atau bisa juga dipikirkan secara bertahap:

   • Untuk jabatan Ketua, ada 5 pilihan.
   • Setelah Ketua terpilih, untuk Wakil Ketua ada 4 pilihan tersisa.
   • Untuk Sekretaris, ada 3 pilihan tersisa.
   • Untuk Bendahara, ada 2 pilihan tersisa.
   • Untuk Humas, ada 1 pilihan tersisa.
     Jadi, total susunan = $5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$.

Jadi, banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah 120 susunan.

b. Menghitung Peluang Pengambilan Bola

Langkah pertama adalah menentukan jumlah total cara mengambil 3 bola dari semua bola yang ada. Ini adalah kasus kombinasi karena urutan pengambilan bola tidak penting.

Jumlah total bola = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.
Jumlah cara mengambil 3 bola dari 10 bola:
$$ C(n, r) = fracn!r!(n-r)! $$
$$ C(10, 3) = frac10!3!(10-3)! = frac10!3!7! = frac10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 10 times 3 times 4 = 120 $$
Jadi, total ada 120 cara untuk mengambil 3 bola dari 10 bola.

i. Peluang terambilnya ketiga bola berwarna merah.

• Jumlah bola merah = 5.

• Jumlah cara mengambil 3 bola merah dari 5 bola merah:
  $C(5, 3) = frac5!3!(5-3)! = frac5!3!2! = frac5 times 42 times 1 = 10$

• Peluang terambilnya ketiga bola merah:
  $P(text3 merah) = fractextJumlah cara mengambil 3 bola merahtextJumlah total cara mengambil 3 bola = frac10120 = frac112$

Jadi, peluang terambilnya ketiga bola berwarna merah adalah 1/12.

ii. Peluang terambilnya dua bola merah dan satu bola hijau.

Untuk kejadian ini, kita perlu menghitung:

1. Jumlah cara mengambil 2 bola merah dari 5 bola merah:
   $C(5, 2) = frac5!2!(5-2)! = frac5!2!3! = frac5 times 42 times 1 = 10$
2. Jumlah cara mengambil 1 bola hijau dari 2 bola hijau:
   $C(2, 1) = frac2!1!(2-1)! = frac2!1!1! = 2$

• Jumlah cara mengambil 2 bola merah DAN 1 bola hijau adalah hasil perkalian kedua cara di atas:
  Jumlah cara $= C(5, 2) times C(2, 1) = 10 times 2 = 20$

• Peluang terambilnya dua bola merah dan satu bola hijau:
  $P(text2 merah, 1 hijau) = fractextJumlah cara mengambil 2 merah dan 1 hijautextJumlah total cara mengambil 3 bola = frac20120 = frac16$

Jadi, peluang terambilnya dua bola merah dan satu bola hijau adalah 1/6.

>

Contoh Soal 3: Trigonometri (Identitas dan Persamaan Trigonometri)

Soal:
a. Buktikan identitas trigonometri berikut: $fracsin x1 + cos x + frac1 + cos xsin x = 2 csc x$.
b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $cos(2x) – sin x = 0$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:

a. Membuktikan Identitas Trigonometri

Kita akan membuktikan identitas tersebut dengan memanipulasi salah satu sisi (biasanya sisi yang lebih kompleks) hingga menyerupai sisi lainnya. Mari kita mulai dari sisi kiri.

Sisi Kiri: $fracsin x1 + cos x + frac1 + cos xsin x$

1. Samakan penyebutnya: Penyebut bersama adalah $(1 + cos x)(sin x)$.
   $$ fracsin x cdot sin x(1 + cos x)sin x + frac(1 + cos x)(1 + cos x)sin x (1 + cos x) $$
2. Gabungkan pembilangnya:
   $$ fracsin^2 x + (1 + cos x)^2(1 + cos x)sin x $$
3. Jabarkan $(1 + cos x)^2$:
   $(1 + cos x)^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot cos x + cos^2 x = 1 + 2 cos x + cos^2 x$
4. Substitusikan kembali ke pembilang:
   $$ fracsin^2 x + (1 + 2 cos x + cos^2 x)(1 + cos x)sin x $$
5. Gunakan identitas $sin^2 x + cos^2 x = 1$:
   $$ frac(sin^2 x + cos^2 x) + 1 + 2 cos x(1 + cos x)sin x $$
   $$ frac1 + 1 + 2 cos x(1 + cos x)sin x $$
   $$ frac2 + 2 cos x(1 + cos x)sin x $$
6. Faktorkan 2 dari pembilang:
   $$ frac2(1 + cos x)(1 + cos x)sin x $$
7. Sederhanakan dengan mencoret $(1 + cos x)$ (asumsikan $1 + cos x neq 0$):
   $$ frac2sin x $$
8. Ingat bahwa $csc x = frac1sin x$:
   $$ 2 csc x $$

Ini sama dengan sisi kanan. Jadi, identitas terbukti benar.

b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Persamaan: $cos(2x) – sin x = 0$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

1. Ubah $cos(2x)$ menjadi bentuk yang hanya melibatkan $sin x$: Kita gunakan identitas $cos(2x) = 1 – 2sin^2 x$.
   $$ (1 – 2sin^2 x) – sin x = 0 $$

2. Susun ulang menjadi persamaan kuadrat dalam $sin x$:
   $$ -2sin^2 x – sin x + 1 = 0 $$
   Kalikan dengan -1 agar koefisien $sin^2 x$ positif:
   $$ 2sin^2 x + sin x – 1 = 0 $$

3. Faktorkan persamaan kuadrat: Misalkan $y = sin x$. Persamaan menjadi $2y^2 + y – 1 = 0$.
   Faktornya adalah $(2y – 1)(y + 1) = 0$.
   Jadi, $2sin x – 1 = 0$ atau $sin x + 1 = 0$.

4. Selesaikan untuk $sin x$:

   • $2sin x – 1 = 0 implies 2sin x = 1 implies sin x = frac12$
   • $sin x + 1 = 0 implies sin x = -1$

5. Cari nilai $x$ dalam interval $0^circ le x le 360^circ$ untuk setiap kasus:

   • Kasus 1: $sin x = frac12$
     Nilai sinus positif berada di Kuadran I dan Kuadran II.

     • Di Kuadran I: $x = arcsin(frac12) = 30^circ$.
     • Di Kuadran II: $x = 180^circ – 30^circ = 150^circ$.

   • Kasus 2: $sin x = -1$
     Nilai sinus -1 terjadi pada sudut yang berada di sumbu y negatif.

     • $x = 270^circ$.

6. Gabungkan semua solusi:
   Himpunan penyelesaiannya adalah $30^circ, 150^circ, 270^circ$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $cos(2x) – sin x = 0$ untuk $0^circ le x le 360^circ$ adalah $30^circ, 150^circ, 270^circ$.

>

Contoh Soal 4: Geometri Ruang (Jarak dan Sudut)

Soal: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$. Tentukan:
a. Jarak antara titik A ke bidang EFGH.
b. Besar sudut antara garis AG dan bidang EFGH.

Pembahasan:

a. Jarak Titik ke Bidang

Dalam kubus, jarak antara titik A ke bidang EFGH adalah jarak vertikal dari titik A ke bidang datar EFGH. Titik A berada di bawah bidang EFGH. Proyeksi titik A pada bidang EFGH adalah titik E.

• Perhatikan bahwa garis AE tegak lurus terhadap bidang EFGH.
• Panjang AE adalah sama dengan panjang rusuk kubus.

Jadi, jarak antara titik A ke bidang EFGH adalah panjang rusuk kubus, yaitu $a$.

b. Besar Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis AG dan bidang EFGH adalah sudut yang dibentuk oleh garis AG dengan proyeksinya pada bidang EFGH.

1. Tentukan proyeksi titik A pada bidang EFGH: Proyeksi titik A pada bidang EFGH adalah titik E.
2. Tentukan proyeksi titik G pada bidang EFGH: Titik G sudah berada di bidang EFGH, jadi proyeksinya adalah G itu sendiri.
3. Garis proyeksi: Garis proyeksi AG pada bidang EFGH adalah garis EG.
4. Sudut yang dicari: Sudut antara garis AG dan bidang EFGH adalah sudut $angle AGE$.

Sekarang kita perlu mencari besar sudut $angle AGE$. Perhatikan segitiga AGE.

• AE adalah rusuk kubus, panjangnya $a$.
• EG adalah diagonal bidang EFGH. Panjang diagonal bidang kubus dengan rusuk $a$ adalah $asqrt2$. Jadi, $EG = asqrt2$.
• AG adalah diagonal ruang kubus. Panjang diagonal ruang kubus dengan rusuk $a$ adalah $asqrt3$. Jadi, $AG = asqrt3$.

Segitiga AGE adalah segitiga siku-siku di E (karena AE tegak lurus terhadap bidang EFGH, sehingga AE tegak lurus terhadap EG).

Kita bisa menggunakan trigonometri untuk mencari sudut $angle AGE$.
Kita punya sisi depan (AE), sisi samping (EG), dan sisi miring (AG) terhadap sudut $angle AGE$.

Menggunakan perbandingan tangen:
$$ tan(angle AGE) = fractextSisi DepantextSisi Samping = fracAEEG = fracaasqrt2 = frac1sqrt2 $$
$$ tan(angle AGE) = fracsqrt22 $$

Untuk mencari besar sudutnya, kita gunakan fungsi arctan:
$$ angle AGE = arctanleft(fracsqrt22right) $$

Menggunakan kalkulator, $arctanleft(fracsqrt22right) approx arctan(0.707) approx 35.26^circ$.

Jadi, besar sudut antara garis AG dan bidang EFGH adalah $arctanleft(fracsqrt22right)$ atau sekitar $35.26^circ$.

>

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 11 semester 2 membutuhkan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang konsisten. Contoh-contoh soal yang disajikan dalam artikel ini mencakup beberapa topik inti dan memberikan gambaran tentang berbagai tipe soal yang mungkin dihadapi siswa.

Penting untuk diingat bahwa kunci keberhasilan bukan hanya menghafal rumus, tetapi memahami bagaimana rumus tersebut diturunkan dan kapan harus menggunakannya. Jangan ragu untuk mencoba berbagai variasi soal, mencari sumber belajar tambahan, dan bertanya kepada guru atau teman jika menemui kesulitan. Dengan ketekunan dan strategi belajar yang tepat, Anda pasti bisa menaklukkan tantangan matematika kelas 11 semester 2. Selamat belajar!