Contoh soal matematika kelas 11 semester 2 beserta kunci jawabanya

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 2: Panduan Soal dan Pembahasan Mendalam

Semester 2 kelas 11 merupakan periode krusial dalam perjalanan matematika siswa. Materi yang disajikan seringkali lebih kompleks dan membutuhkan pemahaman konsep yang kuat serta kemampuan aplikasi yang mumpuni. Dengan berbagai topik seperti trigonometri lanjutan, statistika, peluang, hingga geometri ruang, penguasaan materi ini menjadi fondasi penting untuk jenjang pendidikan selanjutnya.

Untuk membantu Anda mempersiapkan diri menghadapi ujian dan menguatkan pemahaman, artikel ini menyajikan serangkaian contoh soal matematika kelas 11 semester 2 yang mencakup berbagai topik penting, lengkap dengan pembahasan mendalam dan kunci jawabannya. Tujuannya adalah memberikan gambaran realistis tentang jenis soal yang mungkin dihadapi, serta strategi penyelesaian yang efektif.

Mari kita selami bersama contoh-contoh soal ini dan temukan kunci sukses Anda dalam matematika semester 2!

>

Bagian 1: Trigonometri Lanjutan

Trigonometri adalah salah satu pilar utama dalam kurikulum matematika kelas 11. Semester 2 seringkali memperdalam pemahaman tentang identitas trigonometri, persamaan trigonometri, serta aplikasi dalam segitiga.

Contoh Soal 1.1:

Buktikan identitas trigonometri berikut:
$$ fracsin(2x)1 + cos(2x) = tan(x) $$

Pembahasan:

Untuk membuktikan identitas ini, kita akan mulai dari sisi kiri dan mencoba mengubahnya menjadi sisi kanan. Kita akan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri:

• Identitas sudut ganda untuk sinus: $sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)$
• Identitas sudut ganda untuk kosinus: $cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1$ (kita pilih bentuk ini agar penyebutnya lebih mudah disederhanakan)

Mari kita substitusikan identitas-identitas ini ke dalam sisi kiri:

$$ fracsin(2x)1 + cos(2x) = frac2 sin(x) cos(x)1 + (2 cos^2(x) – 1) $$

Sederhanakan penyebutnya:
$$ = frac2 sin(x) cos(x)2 cos^2(x) $$

Sekarang, kita bisa menyederhanakan pecahan ini dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $2 cos(x)$ (dengan asumsi $cos(x) neq 0$):
$$ = fracsin(x)cos(x) $$

Berdasarkan definisi tangen, $tan(x) = fracsin(x)cos(x)$.

$$ = tan(x) $$

Karena sisi kiri telah berhasil diubah menjadi sisi kanan, maka identitas tersebut terbukti benar.

Kunci Jawaban 1.1: Identitas terbukti benar dengan menggunakan identitas sudut ganda $sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)$ dan $cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1$.

>

Contoh Soal 1.2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut untuk $0^circ le x le 360^circ$:
$$ 2 sin^2(x) – 5 cos(x) – 4 = 0 $$

Pembahasan:

Persamaan ini melibatkan fungsi sinus dan kosinus. Untuk menyelesaikannya, kita perlu mengubahnya menjadi satu jenis fungsi trigonometri. Kita akan menggunakan identitas Pythagoras: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, sehingga $sin^2(x) = 1 – cos^2(x)$.

Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$$ 2 (1 – cos^2(x)) – 5 cos(x) – 4 = 0 $$

Buka kurung dan sederhanakan:
$$ 2 – 2 cos^2(x) – 5 cos(x) – 4 = 0 $$
$$ -2 cos^2(x) – 5 cos(x) – 2 = 0 $$

Kalikan seluruh persamaan dengan -1 agar koefisien $cos^2(x)$ positif:
$$ 2 cos^2(x) + 5 cos(x) + 2 = 0 $$

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk $cos(x)$. Misalkan $y = cos(x)$, maka persamaan menjadi:
$$ 2y^2 + 5y + 2 = 0 $$

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan $2 times 2 = 4$ dan jika dijumlahkan menghasilkan 5. Angka tersebut adalah 1 dan 4.
$$ 2y^2 + 4y + y + 2 = 0 $$
$$ 2y(y + 2) + 1(y + 2) = 0 $$
$$ (2y + 1)(y + 2) = 0 $$

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$:

1. $2y + 1 = 0 implies y = -frac12$
2. $y + 2 = 0 implies y = -2$

Sekarang, kita substitusikan kembali $y = cos(x)$:

1. $cos(x) = -frac12$
   Dalam rentang $0^circ le x le 360^circ$, nilai kosinus negatif berada di kuadran II dan III.
   Sudut referensi untuk $cos(theta) = frac12$ adalah $60^circ$.
   Di kuadran II: $x = 180^circ – 60^circ = 120^circ$
   Di kuadran III: $x = 180^circ + 60^circ = 240^circ$

2. $cos(x) = -2$
   Nilai kosinus hanya berkisar antara -1 dan 1. Oleh karena itu, $cos(x) = -2$ tidak memiliki solusi real.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $120^circ$ dan $240^circ$.

Kunci Jawaban 1.2: Himpunan penyelesaiannya adalah $120^circ, 240^circ$.

>

Bagian 2: Statistika

Statistika adalah cabang matematika yang berkaitan dengan pengumpulan, analisis, interpretasi, penyajian, dan organisasi data. Semester 2 seringkali membahas ukuran pemusatan, penyebaran, serta interpretasi data berkelompok.

Contoh Soal 2.1:

Diberikan data hasil ulangan matematika 10 siswa sebagai berikut: 7, 8, 6, 9, 7, 5, 8, 9, 7, 6.
Tentukan:
a. Mean (Rata-rata)
b. Median (Nilai Tengah)
c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)

Pembahasan:

a. Mean (Rata-rata):
Jumlah seluruh data adalah $7+8+6+9+7+5+8+9+7+6 = 72$.
Banyaknya data adalah 10.
Mean = $fractextJumlah seluruh datatextBanyaknya data = frac7210 = 7.2$.

b. Median (Nilai Tengah):
Pertama, urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.
Karena banyaknya data (n=10) adalah genap, median adalah rata-rata dari dua data yang berada di tengah. Data ke-5 adalah 7 dan data ke-6 adalah 7.
Median = $frac7 + 72 = 7$.

c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul):
Amati frekuensi kemunculan setiap nilai:

• 5: muncul 1 kali
• 6: muncul 2 kali
• 7: muncul 3 kali
• 8: muncul 2 kali
• 9: muncul 2 kali
  Nilai yang paling sering muncul adalah 7, karena muncul sebanyak 3 kali.
  Modus = 7.

Kunci Jawaban 2.1:
a. Mean = 7.2
b. Median = 7
c. Modus = 7

>

Contoh Soal 2.2:

Diberikan tabel distribusi frekuensi data tinggi badan siswa dalam cm:

Tinggi Badan (cm)	Frekuensi
150 – 154	3
155 – 159	7
160 – 164	10
165 – 169	5
170 – 174	2

Tentukan:
a. Modus dari data tersebut.
b. Median dari data tersebut.

Pembahasan:

a. Modus dari Data Berkelompok:
Modus pada data berkelompok dihitung menggunakan rumus:
$Mo = tb + left(fracd_1d_1 + d_2right) p$
dimana:

• $tb$ = tepi bawah kelas modus
• $d_1$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
• $d_2$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

• $p$ = panjang kelas

  Dari tabel, kelas modus adalah kelas dengan frekuensi tertinggi, yaitu kelas "160 – 164" dengan frekuensi 10.

• $tb = 160 – 0.5 = 159.5$
• $d_1 = 10 – 7 = 3$
• $d_2 = 10 – 5 = 5$

• $p = 154 – 150 + 1 = 5$ (atau $159.5 – 154.5 = 5$)

  Substitusikan ke dalam rumus:
  $Mo = 159.5 + left(frac33 + 5right) times 5$
  $Mo = 159.5 + left(frac38right) times 5$
  $Mo = 159.5 + frac158$
  $Mo = 159.5 + 1.875$
  $Mo = 161.375$

b. Median dari Data Berkelompok:
Median pada data berkelompok dihitung menggunakan rumus:
$Me = tb + left(fracfrac12n – Fkfright) p$
dimana:

• $tb$ = tepi bawah kelas median

• $n$ = jumlah seluruh data

• $Fk$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

• $f$ = frekuensi kelas median

• $p$ = panjang kelas

  Pertama, hitung jumlah seluruh data ($n$) dan frekuensi kumulatif ($Fk$):

  Tinggi Badan (cm)	Frekuensi (f)	Frekuensi Kumulatif (Fk)
  150 – 154	3	3
  155 – 159	7	3 + 7 = 10
  160 – 164	10	10 + 10 = 20
  165 – 169	5	20 + 5 = 25
  170 – 174	2	25 + 2 = 27

  Jumlah seluruh data ($n$) = 27.
  Posisi median adalah pada data ke-$frac12n = frac12 times 27 = 13.5$.
  Kelas median adalah kelas yang memuat data ke-13.5, yaitu kelas "160 – 164" (karena frekuensi kumulatifnya mencapai 20).

• $tb = 160 – 0.5 = 159.5$

• $frac12n = 13.5$

• $Fk$ (frekuensi kumulatif sebelum kelas median) = 10

• $f$ (frekuensi kelas median) = 10

• $p = 5$

  Substitusikan ke dalam rumus:
  $Me = 159.5 + left(frac13.5 – 1010right) times 5$
  $Me = 159.5 + left(frac3.510right) times 5$
  $Me = 159.5 + 0.35 times 5$
  $Me = 159.5 + 1.75$
  $Me = 161.25$

Kunci Jawaban 2.2:
a. Modus = 161.375 cm
b. Median = 161.25 cm

>

Bagian 3: Peluang

Peluang adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Materi ini melatih kemampuan logika dan kombinatorika siswa.

Contoh Soal 3.1:

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola kuning. Jika diambil 3 bola secara acak tanpa pengembalian, tentukan peluang terambilnya:
a. Ketiga bola berwarna merah.
b. Dua bola merah dan satu bola biru.

Pembahasan:

Total bola dalam kotak = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (kuning) = 10 bola.
Kita akan mengambil 3 bola secara acak tanpa pengembalian.

Jumlah total cara mengambil 3 bola dari 10 bola adalah kombinasi:
$C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$
Total cara = $C(10, 3) = frac10!3!(10-3)! = frac10!3!7! = frac10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 10 times 3 times 4 = 120$ cara.

a. Peluang terambilnya ketiga bola berwarna merah:
Jumlah bola merah = 5.
Jumlah cara mengambil 3 bola merah dari 5 bola merah adalah:
$C(5, 3) = frac5!3!(5-3)! = frac5!3!2! = frac5 times 42 times 1 = 10$ cara.

Peluang (ketiga bola merah) = $fractextJumlah cara mengambil 3 bola merahtextTotal cara mengambil 3 bola$
Peluang (ketiga bola merah) = $frac10120 = frac112$.

b. Peluang terambilnya dua bola merah dan satu bola biru:
Jumlah cara mengambil 2 bola merah dari 5 bola merah adalah:
$C(5, 2) = frac5!2!(5-2)! = frac5!2!3! = frac5 times 42 times 1 = 10$ cara.

Jumlah cara mengambil 1 bola biru dari 3 bola biru adalah:
$C(3, 1) = frac3!1!(3-1)! = frac3!1!2! = 3$ cara.

Jumlah cara mengambil 2 bola merah DAN 1 bola biru adalah hasil perkalian kedua cara tersebut: $C(5, 2) times C(3, 1) = 10 times 3 = 30$ cara.

Peluang (2 merah dan 1 biru) = $fractextJumlah cara mengambil 2 merah dan 1 birutextTotal cara mengambil 3 bola$
Peluang (2 merah dan 1 biru) = $frac30120 = frac14$.

Kunci Jawaban 3.1:
a. Peluang (ketiga bola merah) = $frac112$
b. Peluang (dua bola merah dan satu bola biru) = $frac14$

>

Contoh Soal 3.2:

Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu:
a. Sama dengan 7.
b. Kurang dari 4.

Pembahasan:

Setiap dadu memiliki 6 sisi, dengan angka 1 sampai 6. Ketika dua dadu dilempar, total ruang sampelnya adalah $6 times 6 = 36$ kemungkinan hasil. Kita bisa menuliskannya dalam bentuk pasangan berurutan (mata dadu pertama, mata dadu kedua).

a. Peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 7:
Pasangan hasil yang jumlahnya 7 adalah: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Ada 6 hasil yang memenuhi syarat ini.

Peluang (jumlah 7) = $fractextJumlah hasil yang berjumlah 7textTotal ruang sampel$
Peluang (jumlah 7) = $frac636 = frac16$.

b. Peluang munculnya jumlah mata dadu kurang dari 4:
Jumlah mata dadu kurang dari 4 berarti jumlahnya bisa 2 atau 3.
Pasangan hasil yang jumlahnya 2: (1,1) – ada 1 hasil.
Pasangan hasil yang jumlahnya 3: (1,2), (2,1) – ada 2 hasil.
Jadi, total ada $1 + 2 = 3$ hasil yang jumlahnya kurang dari 4.

Peluang (jumlah kurang dari 4) = $fractextJumlah hasil yang berjumlah kurang dari 4textTotal ruang sampel$
Peluang (jumlah kurang dari 4) = $frac336 = frac112$.

Kunci Jawaban 3.2:
a. Peluang (jumlah 7) = $frac16$
b. Peluang (jumlah kurang dari 4) = $frac112$

>

Bagian 4: Geometri Ruang

Geometri ruang mempelajari bangun-bangun tiga dimensi. Semester 2 seringkali melibatkan konsep jarak, sudut, dan volume pada bangun ruang seperti kubus, balok, prisma, dan limas.

Contoh Soal 4.1:

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$. Tentukan jarak antara titik A ke garis FG.

Pembahasan:

Bayangkan sebuah kubus. Titik A berada di salah satu sudut alas, misalnya sudut kiri depan. Garis FG adalah salah satu rusuk pada sisi atas belakang kubus.

Untuk mencari jarak dari titik A ke garis FG, kita perlu mencari panjang garis tegak lurus dari A ke FG.

Perhatikan bahwa garis FG sejajar dengan garis BC dan garis AD.
Jarak dari titik A ke garis FG sama dengan jarak dari titik A ke garis yang sejajar dengannya pada bidang yang sama atau bidang yang berhadapan.

Mari kita tinjau bidang ABFE. Titik A berada di bidang ini. Garis FG tidak berada di bidang ABFE, tetapi sejajar dengan garis AE dan BF yang ada di bidang ABFE.

Cara yang lebih mudah adalah menyadari bahwa jarak dari A ke FG adalah sama dengan jarak dari A ke setiap titik pada garis FG. Karena FG sejajar dengan rusuk-rusuk lain di sisi atas, jarak ini akan sama dengan panjang rusuk kubus.

Misalkan kita tarik garis dari A ke titik F. Ini adalah diagonal sisi.
Jarak terpendek dari A ke garis FG akan tegak lurus terhadap FG.
Perhatikan bidang BCGF. Titik A tidak berada di bidang ini.
Perhatikan bidang EFGH. Titik A tidak berada di bidang ini.

Namun, kita bisa melihat proyeksi. Garis FG sejajar dengan rusuk AE dan BF. Jarak dari A ke garis FG adalah sama dengan panjang rusuk kubus.

Mengapa? Karena FG terletak pada bidang EFGH. Bidang EFGH sejajar dengan bidang ABCD.
Jarak antara bidang ABCD dan EFGH adalah tinggi kubus, yaitu $a$.
Titik A berada di bidang ABCD. Garis FG berada di bidang EFGH.
Jarak terpendek dari sebuah titik ke sebuah garis yang berada pada bidang yang sejajar dengan bidang yang memuat titik tersebut adalah jarak antara kedua bidang tersebut.

Jadi, jarak titik A ke garis FG adalah sama dengan panjang rusuk kubus.

Kunci Jawaban 4.1: Jarak titik A ke garis FG adalah $a$ (panjang rusuk kubus).

>

Contoh Soal 4.2:

Diketahui sebuah limas T.ABCD dengan alas persegi ABCD berukuran 6 cm x 6 cm. Jika tinggi limas TO = 8 cm (O adalah titik pusat alas), tentukan panjang garis TO.

Pembahasan:

Soal ini tampaknya sedikit membingungkan karena menanyakan panjang garis TO, yang sudah diketahui dalam soal. Namun, jika soalnya adalah menanyakan panjang garis rusuk tegak (misalnya TA) atau jarak dari titik T ke salah satu rusuk alas, maka akan lebih menantang.

Asumsikan soalnya adalah: Diketahui sebuah limas T.ABCD dengan alas persegi ABCD berukuran 6 cm x 6 cm. Jika tinggi limas TO = 8 cm (O adalah titik pusat alas), tentukan panjang garis rusuk tegak TA.

Pembahasan untuk Soal Revisi:

Alas limas adalah persegi ABCD dengan panjang sisi 6 cm. O adalah titik pusat alas.
Oleh karena itu, OA = OB = OC = OD.
Dalam persegi, diagonalnya berpotongan di titik pusat dan membagi diagonal menjadi dua sama panjang.
Panjang diagonal AC dapat dihitung menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABC (yang siku-siku di B):
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 6^2 + 6^2$
$AC^2 = 36 + 36$
$AC^2 = 72$
$AC = sqrt72 = 6sqrt2$ cm.

Karena O adalah titik pusat, maka:
$OA = frac12 AC = frac12 (6sqrt2) = 3sqrt2$ cm.

Tinggi limas adalah TO = 8 cm. Segitiga TOA adalah segitiga siku-siku di O.
Untuk mencari panjang rusuk tegak TA, kita gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga TOA:
$TA^2 = TO^2 + OA^2$
$TA^2 = 8^2 + (3sqrt2)^2$
$TA^2 = 64 + (9 times 2)$
$TA^2 = 64 + 18$
$TA^2 = 82$
$TA = sqrt82$ cm.

Kunci Jawaban (untuk Soal Revisi): Panjang garis rusuk tegak TA adalah $sqrt82$ cm.

>

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 11 semester 2 membutuhkan latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang mendalam. Contoh soal dan pembahasan yang telah disajikan di atas mencakup beberapa topik kunci. Ingatlah bahwa kunci sukses dalam matematika adalah dengan terus berlatih, jangan ragu untuk bertanya jika menemui kesulitan, dan cobalah untuk memahami logika di balik setiap penyelesaian.

Semoga artikel ini dapat menjadi bekal berharga dalam perjalanan belajar matematika Anda. Selamat belajar dan semoga sukses dalam ujian Anda!

>