Contoh soal matematika kelas 10 semester 2 dan jawabannya

Menguasai Matematika Kelas 10 Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Semester 2 kelas 10 merupakan fase penting dalam mendalami konsep-konsep matematika yang akan menjadi fondasi untuk jenjang pendidikan selanjutnya. Materi yang disajikan seringkali melatih kemampuan analisis, penalaran logis, dan pemecahan masalah yang kompleks. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal matematika kelas 10 semester 2 yang mencakup topik-topik kunci, disertai dengan pembahasan langkah demi langkah untuk membantu Anda memahami setiap konsep secara mendalam.

Pendahuluan

Matematika kelas 10 semester 2 umumnya mencakup beberapa bab penting, seperti Trigonometri, Fungsi Kuadrat, Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, serta Geometri Dimensi Tiga. Memahami materi-materi ini dengan baik akan sangat membantu siswa dalam menghadapi ujian dan tantangan matematika di masa depan. Berikut adalah beberapa contoh soal yang dirancang untuk mencakup berbagai tingkat kesulitan dan aspek penting dari setiap bab.

>

Bab 1: Trigonometri

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas 10, fokusnya adalah pada perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri dasar, serta penerapan dalam pemecahan masalah.

Contoh Soal 1.1:

Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 6 cm, tentukan nilai dari:
a. $sin A$
b. $cos C$
c. $tan A$

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita perlu mencari panjang sisi miring (AC) menggunakan teorema Pythagoras.

• Langkah 1: Mencari panjang sisi miring AC.
  Menurut teorema Pythagoras: $AC^2 = AB^2 + BC^2$
  $AC^2 = 8^2 + 6^2$
  $AC^2 = 64 + 36$
  $AC^2 = 100$
  $AC = sqrt100 = 10$ cm.

• Langkah 2: Menentukan nilai perbandingan trigonometri.
  Ingat definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku:

  • Sinus (sin): Perbandingan sisi depan sudut dengan sisi miring.
  • Kosinus (cos): Perbandingan sisi samping sudut dengan sisi miring.
  • Tangen (tan): Perbandingan sisi depan sudut dengan sisi samping sudut.

  a. $sin A$: Sisi depan sudut A adalah BC, dan sisi miring adalah AC.
  $sin A = fracBCAC = frac610 = frac35$

  b. $cos C$: Sisi samping sudut C adalah BC, dan sisi miring adalah AC.
  $cos C = fracBCAC = frac610 = frac35$

  c. $tan A$: Sisi depan sudut A adalah BC, dan sisi samping sudut A adalah AB.
  $tan A = fracBCAB = frac68 = frac34$

Contoh Soal 1.2:

Buktikan identitas trigonometri berikut: $(sin x + cos x)^2 = 1 + 2 sin x cos x$

Pembahasan:

Untuk membuktikan identitas, kita akan memulai dari salah satu sisi (biasanya sisi yang lebih kompleks) dan mengubahnya menjadi sisi lainnya.

• Langkah 1: Jabarkan sisi kiri identitas.
  Sisi kiri: $(sin x + cos x)^2$
  Menggunakan rumus $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
  $(sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x$

• Langkah 2: Gunakan identitas dasar $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
  Kelompokkan $sin^2 x$ dan $cos^2 x$:
  $(sin^2 x + cos^2 x) + 2 sin x cos x$
  Ganti $(sin^2 x + cos^2 x)$ dengan 1:
  $1 + 2 sin x cos x$

• Langkah 3: Bandingkan dengan sisi kanan identitas.
  Sisi kanan identitas adalah $1 + 2 sin x cos x$.
  Karena sisi kiri telah berhasil diubah menjadi sama dengan sisi kanan, maka identitas tersebut terbukti benar.

>

Bab 2: Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua. Materi ini mencakup bentuk umum fungsi kuadrat, menentukan titik puncak, sumbu simetri, pemotongan sumbu y, serta menggambar grafiknya.

Contoh Soal 2.1:

Tentukan koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, dan koordinat titik potong sumbu y dari fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 – 8x + 6$.

Pembahasan:

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$. Dari soal, kita dapat mengidentifikasi $a=2$, $b=-8$, dan $c=6$.

• Langkah 1: Menentukan koordinat titik puncak.
  Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dapat dicari dengan rumus:
  $x_p = frac-b2a$
  $y_p = f(x_p)$ atau $y_p = frac-(b^2 – 4ac)4a$

  Menghitung $x_p$:
  $x_p = frac-(-8)2 times 2 = frac84 = 2$

  Menghitung $y_p$ dengan substitusi $x_p$ ke dalam fungsi:
  $y_p = f(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 6$
  $y_p = 2(4) – 16 + 6$
  $y_p = 8 – 16 + 6$
  $y_p = -2$
  Jadi, koordinat titik puncaknya adalah $(2, -2)$.

• Langkah 2: Menentukan persamaan sumbu simetri.
  Persamaan sumbu simetri adalah garis vertikal yang melalui titik puncak, yaitu $x = x_p$.
  Jadi, persamaan sumbu simetrinya adalah $x = 2$.

• Langkah 3: Menentukan koordinat titik potong sumbu y.
  Titik potong sumbu y terjadi ketika $x=0$. Substitusikan $x=0$ ke dalam fungsi:
  $f(0) = 2(0)^2 – 8(0) + 6$
  $f(0) = 0 – 0 + 6$
  $f(0) = 6$
  Jadi, koordinat titik potong sumbu y adalah $(0, 6)$.

Contoh Soal 2.2:

Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Ketinggian bola (dalam meter) setelah $t$ detik dirumuskan oleh $h(t) = -5t^2 + 20t$. Tentukan:
a. Ketinggian maksimum bola.
b. Waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketinggian maksimum.
c. Ketinggian bola setelah 3 detik.

Pembahasan:

Fungsi ketinggian ini adalah fungsi kuadrat dengan $a=-5$, $b=20$, dan $c=0$. Karena koefisien $a$ negatif, parabola terbuka ke bawah, yang berarti memiliki nilai maksimum.

• Langkah 1: Menentukan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum (bagian b).
  Ini sama dengan mencari koordinat $x$ dari titik puncak.
  $t_puncak = frac-b2a = frac-202 times (-5) = frac-20-10 = 2$ detik.

• Langkah 2: Menentukan ketinggian maksimum bola (bagian a).
  Ini sama dengan mencari koordinat $y$ dari titik puncak, yaitu $h(tpuncak)$.
  $hmaks = h(2) = -5(2)^2 + 20(2)$
  $hmaks = -5(4) + 40$
  $hmaks = -20 + 40$
  $h_maks = 20$ meter.

• Langkah 3: Menentukan ketinggian bola setelah 3 detik (bagian c).
  Substitusikan $t=3$ ke dalam rumus $h(t)$:
  $h(3) = -5(3)^2 + 20(3)$
  $h(3) = -5(9) + 60$
  $h(3) = -45 + 60$
  $h(3) = 15$ meter.

>

Bab 3: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Materi ini mencakup sifat-sifat nilai mutlak, penyelesaian persamaan nilai mutlak, dan pertidaksamaan nilai mutlak.

Contoh Soal 3.1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak $|2x – 1| = 7$.

Pembahasan:

Persamaan nilai mutlak $|A| = k$ (dengan $k ge 0$) memiliki dua kemungkinan solusi: $A = k$ atau $A = -k$.

• Langkah 1: Kasus 1: $2x – 1 = 7$.
  $2x = 7 + 1$
  $2x = 8$
  $x = 4$

• Langkah 2: Kasus 2: $2x – 1 = -7$.
  $2x = -7 + 1$
  $2x = -6$
  $x = -3$

• Langkah 3: Verifikasi solusi.
  Untuk $x=4$: $|2(4) – 1| = |8 – 1| = |7| = 7$. (Benar)
  Untuk $x=-3$: $|2(-3) – 1| = |-6 – 1| = |-7| = 7$. (Benar)

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $-3, 4$.

Contoh Soal 3.2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak $|3x + 2| < 5$.

Pembahasan:

Pertidaksamaan nilai mutlak $|A| < k$ (dengan $k > 0$) memiliki solusi $-k < A < k$.

• Langkah 1: Terapkan definisi pertidaksamaan nilai mutlak.
  $-5 < 3x + 2 < 5$

• Langkah 2: Selesaikan pertidaksamaan secara bersamaan.
  Kurangi semua bagian dengan 2:
  $-5 – 2 < 3x < 5 – 2$
  $-7 < 3x < 3$

  Bagi semua bagian dengan 3:
  $frac-73 < x < frac33$
  $-frac73 < x < 1$

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x mid -frac73 < x < 1$.

>

Bab 4: Geometri Dimensi Tiga

Geometri dimensi tiga mempelajari bangun ruang seperti kubus, balok, prisma, limas, kerucut, silinder, dan bola. Materi ini mencakup jarak titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, serta sudut antara garis dan bidang, atau dua bidang.

Contoh Soal 4.1:

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara titik A dan titik G.

Pembahasan:

Untuk mencari jarak antara dua titik pada bangun ruang, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras secara berulang atau menggunakan rumus jarak pada koordinat jika kita menempatkan kubus pada sistem koordinat. Cara paling umum adalah menggunakan diagonal ruang.

• Langkah 1: Cari panjang diagonal bidang.
  Misalkan kita cari diagonal bidang ABCD, yaitu AC. Menggunakan segitiga siku-siku ABC:
  $AC^2 = AB^2 + BC^2$
  $AC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$
  $AC = sqrt72 = 6sqrt2$ cm.

• Langkah 2: Cari panjang diagonal ruang.
  Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku ACG (siku-siku di C). AG adalah diagonal ruang.
  $AG^2 = AC^2 + CG^2$
  $AG^2 = (6sqrt2)^2 + 6^2$
  $AG^2 = 72 + 36$
  $AG^2 = 108$
  $AG = sqrt108 = sqrt36 times 3 = 6sqrt3$ cm.

  Jadi, jarak antara titik A dan titik G adalah $6sqrt3$ cm.

Contoh Soal 4.2:

Diketahui sebuah limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas AB = 4 cm dan tinggi limas TO = 6 cm (O adalah titik pusat alas). Tentukan jarak dari titik T ke garis BC.

Pembahasan:

Kita perlu mencari jarak terpendek dari titik T ke garis BC. Garis terpendek dari suatu titik ke garis adalah garis tegak lurus.

• Langkah 1: Perhatikan segitiga yang relevan.
  Kita bisa membuat segitiga siku-siku yang melibatkan T dan garis BC. Salah satu cara adalah dengan memproyeksikan titik T ke bidang alas, yaitu titik O. Kemudian, kita perlu mencari titik pada garis BC yang terdekat dengan proyeksi tersebut. Karena alasnya persegi, titik O berada di tengah-tengah alas.

• Langkah 2: Cari jarak dari O ke garis BC.
  Jarak dari titik pusat persegi ke salah satu sisinya adalah setengah dari panjang sisi alas.
  Misalkan M adalah titik tengah BC. Maka, OM = $frac12$ AB = $frac12 times 4 = 2$ cm.

• Langkah 3: Gunakan teorema Pythagoras.
  Perhatikan segitiga siku-siku TOM (siku-siku di O). TM adalah garis yang menghubungkan puncak T dengan titik tengah alas BC. TM adalah garis tinggi pada segitiga TBC. Karena limas beraturan, segitiga TBC adalah segitiga sama kaki, sehingga TM tegak lurus dengan BC. Oleh karena itu, TM adalah jarak dari T ke garis BC.
  $TM^2 = TO^2 + OM^2$
  $TM^2 = 6^2 + 2^2$
  $TM^2 = 36 + 4$
  $TM^2 = 40$
  $TM = sqrt40 = sqrt4 times 10 = 2sqrt10$ cm.

  Jadi, jarak dari titik T ke garis BC adalah $2sqrt10$ cm.

>

Kesimpulan

Mempelajari contoh soal dan pembahasannya secara mendalam adalah salah satu cara terbaik untuk menguasai materi matematika kelas 10 semester 2. Kunci keberhasilan terletak pada pemahaman konsep dasar, kemampuan menerapkan rumus, dan latihan yang konsisten. Dengan menguasai topik-topik seperti Trigonometri, Fungsi Kuadrat, Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, serta Geometri Dimensi Tiga, siswa akan lebih siap menghadapi berbagai tantangan akademis di masa depan. Teruslah berlatih, jangan ragu bertanya, dan percayalah pada kemampuan diri sendiri untuk meraih hasil yang optimal.

>

Artikel ini telah mencapai target sekitar 1.200 kata dan mencakup contoh soal dari empat bab utama yang umum diajarkan di kelas 10 semester 2, lengkap dengan pembahasannya. Semoga bermanfaat!