Contoh soal matematika kelas 10 semester 2 kurikulum 2013 revisi
Menguasai Konsep Matematika: Kumpulan Contoh Soal Kelas 10 Semester 2 Kurikulum 2013 Revisi
Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, sejatinya adalah bahasa universal yang mendasari banyak aspek kehidupan modern. Memahami konsep-konsep matematika sejak dini adalah kunci untuk membekali diri dengan kemampuan berpikir logis, analitis, dan problem-solving yang esensial. Bagi siswa kelas 10, semester 2 kurikulum 2013 revisi menyajikan materi-materi baru yang membangun fondasi penting untuk jenjang pendidikan selanjutnya.
Artikel ini bertujuan untuk memberikan gambaran komprehensif mengenai contoh-contoh soal yang sering muncul dalam materi Matematika Kelas 10 Semester 2 Kurikulum 2013 Revisi. Dengan memahami variasi soal dan strategi penyelesaiannya, diharapkan siswa dapat lebih percaya diri dalam menghadapi ujian dan menguasai materi secara mendalam.
Kurikulum 2013 revisi menekankan pada pemahaman konsep, penalaran, dan penerapan dalam konteks nyata. Materi yang dibahas pada semester 2 ini umumnya meliputi:
- Trigonometri Lanjutan: Meliputi identitas trigonometri, persamaan trigonometri, dan aplikasi dalam segitiga.
- Dimensi Tiga: Mempelajari jarak dan sudut antara titik, garis, dan bidang dalam ruang.
- Statistika: Meliputi ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, dan penyajian data.
- Peluang: Meliputi kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, dan peluang kejadian.
Mari kita bedah satu per satu contoh soal dari setiap topik tersebut.
1. Trigonometri Lanjutan: Menguak Hubungan Sudut dan Sisi
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga. Pada kelas 10 semester 2, materi ini diperdalam dengan identitas trigonometri yang kompleks dan persamaan yang membutuhkan pemahaman mendalam.
Contoh Soal 1: Identitas Trigonometri
Soal: Buktikan identitas trigonometri berikut:
$$ fracsin(2x)1 + cos(2x) = tan(x) $$
Pembahasan:
Untuk membuktikan identitas ini, kita akan memanipulasi salah satu sisi hingga menyerupai sisi lainnya. Mari kita mulai dari sisi kiri:
$$ fracsin(2x)1 + cos(2x) $$
Kita tahu identitas sudut ganda:
- $sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)$
- $cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1$ (kita pilih bentuk ini karena akan menyederhanakan penyebut)
Substitusikan identitas tersebut ke dalam persamaan:
$$ frac2 sin(x) cos(x)1 + (2 cos^2(x) – 1) $$
Sederhanakan penyebut:
$$ frac2 sin(x) cos(x)2 cos^2(x) $$
Sekarang, kita bisa menyederhanakan suku yang sama di pembilang dan penyebut. Kita bisa membagi $2 cos(x)$ dari pembilang dan penyebut:
$$ fracsin(x)cos(x) $$
Dan kita tahu bahwa $fracsin(x)cos(x) = tan(x)$.
$$ tan(x) $$
Jadi, sisi kiri terbukti sama dengan sisi kanan.
Contoh Soal 2: Persamaan Trigonometri
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos(2x) – 5 cos(x) + 3 = 0$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.
Pembahasan:
Persamaan ini melibatkan fungsi trigonometri dengan sudut ganda dan sudut tunggal. Langkah pertama adalah mengubah $cos(2x)$ menjadi bentuk yang hanya melibatkan $cos(x)$. Kita gunakan identitas $cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1$.
Substitusikan ke dalam persamaan:
$$ (2 cos^2(x) – 1) – 5 cos(x) + 3 = 0 $$
Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam $cos(x)$:
$$ 2 cos^2(x) – 5 cos(x) + 2 = 0 $$
Misalkan $y = cos(x)$. Maka persamaan menjadi:
$$ 2y^2 – 5y + 2 = 0 $$
Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$$ (2y – 1)(y – 2) = 0 $$
Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$:
- $2y – 1 = 0 implies y = frac12$
- $y – 2 = 0 implies y = 2$
Sekarang, substitusikan kembali $y = cos(x)$:
- $cos(x) = frac12$
- $cos(x) = 2$
Untuk $cos(x) = 2$, tidak ada solusi real karena nilai kosinus berkisar antara -1 dan 1.
Untuk $cos(x) = frac12$, kita mencari sudut $x$ dalam interval $0^circ le x le 360^circ$ yang nilai kosinusnya adalah $frac12$. Sudut referensi adalah $60^circ$. Kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.
- Di kuadran I: $x = 60^circ$
- Di kuadran IV: $x = 360^circ – 60^circ = 300^circ$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $60^circ, 300^circ$.
2. Dimensi Tiga: Memahami Ruang di Sekitar Kita
Dimensi tiga adalah studi tentang objek dalam ruang tiga dimensi. Materi ini melatih kemampuan spasial siswa untuk menghitung jarak dan sudut antara berbagai elemen geometris seperti titik, garis, dan bidang.
Contoh Soal 3: Jarak Titik ke Garis
Soal: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$. Tentukan jarak titik B ke garis EG.
Pembahasan:
Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Titik B berada di salah satu sudut alas, sedangkan garis EG adalah diagonal ruang yang menghubungkan sudut atas E dan G.
Untuk mencari jarak titik B ke garis EG, kita dapat menggunakan konsep proyeksi atau mencari segitiga yang tegak lurus terhadap garis EG dan memuat titik B.
Perhatikan segitiga EBG. Segitiga ini adalah segitiga siku-siku di B, karena EB tegak lurus dengan bidang BCGF, dan BG terletak pada bidang tersebut, sehingga EB tegak lurus BG.
Panjang sisi-sisi segitiga EBG:
- EB = $a$ (rusuk kubus)
- BG = $asqrt2$ (diagonal sisi alas ABCD)
- EG = $asqrt3$ (diagonal ruang kubus)
Jarak titik B ke garis EG adalah panjang garis dari B yang tegak lurus terhadap EG. Misalkan titik potongnya adalah P. Maka BP adalah tinggi segitiga EBG terhadap alas EG.
Luas segitiga EBG dapat dihitung dengan dua cara:
- Menggunakan alas EB dan tinggi BG: Luas = $frac12 times EB times BG = frac12 times a times asqrt2 = fraca^2sqrt22$
- Menggunakan alas EG dan tinggi BP: Luas = $frac12 times EG times BP = frac12 times asqrt3 times BP$
Samakan kedua rumus luas tersebut:
$$ fraca^2sqrt22 = frac12 times asqrt3 times BP $$
Sederhanakan dan selesaikan untuk BP:
$$ a^2sqrt2 = asqrt3 times BP $$
$$ BP = fraca^2sqrt2asqrt3 = fracasqrt2sqrt3 $$
Rasionalkan penyebutnya:
$$ BP = fracasqrt2sqrt3 times fracsqrt3sqrt3 = fracasqrt63 $$
Jadi, jarak titik B ke garis EG adalah $fracasqrt63$.
Contoh Soal 4: Sudut Garis ke Bidang
Soal: Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas AB = 4 cm dan tinggi TO = 6 cm (O adalah titik pusat alas). Tentukan besar sudut antara garis TA dengan bidang ABCD.
Pembahasan:
Sudut antara garis TA dengan bidang ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis TA dengan proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi TA pada bidang ABCD adalah garis OA. Jadi, sudut yang dicari adalah $angle TAO$.
Kita perlu mencari panjang OA dan TO.
- TO = 6 cm (tinggi limas)
- ABCD adalah persegi dengan sisi 4 cm. Diagonal AC = $sqrt4^2 + 4^2 = sqrt16 + 16 = sqrt32 = 4sqrt2$ cm.
- O adalah pusat alas, jadi OA = $frac12$ AC = $frac12 times 4sqrt2 = 2sqrt2$ cm.
Sekarang kita memiliki segitiga siku-siku TAO dengan siku-siku di O.
- Sisi TO = 6 cm (sisi depan sudut $angle TAO$)
- Sisi OA = $2sqrt2$ cm (sisi samping sudut $angle TAO$)
Kita dapat menggunakan fungsi tangen untuk mencari besar sudut $angle TAO$:
$$ tan(angle TAO) = fractextsisi depantextsisi samping = fracTOOA $$
$$ tan(angle TAO) = frac62sqrt2 = frac3sqrt2 $$
Rasionalkan penyebutnya:
$$ tan(angle TAO) = frac3sqrt2 times fracsqrt2sqrt2 = frac3sqrt22 $$
Untuk mencari besar sudutnya, kita gunakan fungsi arctan:
$$ angle TAO = arctanleft(frac3sqrt22right) $$
Nilai $frac3sqrt22 approx frac3 times 1.4142 approx frac4.2422 approx 2.121$. Menggunakan kalkulator, $arctan(2.121) approx 64.76^circ$.
Jadi, besar sudut antara garis TA dengan bidang ABCD adalah $arctanleft(frac3sqrt22right)$ atau sekitar $64.76^circ$.
3. Statistika: Memahami Data di Sekitar Kita
Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, menganalisis, menafsirkan, dan menyajikan data. Pada kelas 10, fokus diberikan pada ukuran pemusatan (mean, median, modus) dan ukuran penyebaran (rentang, kuartil, simpangan baku) serta penyajian data.
Contoh Soal 5: Ukuran Pemusatan dan Penyebaran
Soal: Diberikan data nilai ulangan Matematika 10 siswa sebagai berikut: 7, 8, 6, 9, 5, 7, 8, 9, 7, 6.
a. Tentukan rata-rata (mean) dari data tersebut.
b. Tentukan median dari data tersebut.
c. Tentukan modus dari data tersebut.
d. Tentukan rentang (range) dari data tersebut.
e. Tentukan kuartil bawah (Q1) dan kuartil atas (Q3) dari data tersebut.
Pembahasan:
Pertama, urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.
a. Rata-rata (Mean):
Jumlah seluruh data = $5+6+6+7+7+7+8+8+9+9 = 72$
Banyak data (n) = 10
Mean ($barx$) = $fractextJumlah seluruh datatextBanyak data = frac7210 = 7.2$
b. Median:
Karena jumlah data genap (n=10), median adalah rata-rata dari dua data tengah. Data ke-5 dan ke-6 adalah 7 dan 7.
Median = $frac7+72 = 7$
c. Modus:
Modus adalah nilai yang paling sering muncul.
Nilai 5 muncul 1 kali.
Nilai 6 muncul 2 kali.
Nilai 7 muncul 3 kali.
Nilai 8 muncul 2 kali.
Nilai 9 muncul 2 kali.
Modus = 7
d. Rentang (Range):
Range = Nilai terbesar – Nilai terkecil = $9 – 5 = 4$
e. Kuartil Bawah (Q1) dan Kuartil Atas (Q3):
Data terurut: 5, 6, 6, 7, 7, | 7, 8, 8, 9, 9
Median membagi data menjadi dua bagian:
Bagian bawah: 5, 6, 6, 7, 7
Bagian atas: 7, 8, 8, 9, 9
Kuartil Bawah (Q1) adalah median dari bagian bawah. Median dari 5, 6, 6, 7, 7 adalah 6.
Q1 = 6
Kuartil Atas (Q3) adalah median dari bagian atas. Median dari 7, 8, 8, 9, 9 adalah 8.
Q3 = 84. Peluang: Mengukur Kemungkinan Terjadi Sesuatu
Peluang mempelajari tentang kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Materi ini meliputi kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, dan perhitungan peluang kejadian sederhana maupun majemuk.
Contoh Soal 6: Kombinasi
Soal: Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil 3 bola secara acak dari kotak tersebut, berapa banyak cara pengambilan yang menghasilkan 2 bola merah dan 1 bola biru?
Pembahasan:
Ini adalah masalah kombinasi karena urutan pengambilan bola tidak penting.
Kita perlu menghitung jumlah cara memilih 2 bola merah dari 5 bola merah, dan jumlah cara memilih 1 bola biru dari 3 bola biru.
-
Jumlah cara memilih 2 bola merah dari 5 bola merah:
Menggunakan rumus kombinasi $C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$
$C(5, 2) = frac5!2!(5-2)! = frac5!2!3! = frac5 times 42 times 1 = 10$ cara. -
Jumlah cara memilih 1 bola biru dari 3 bola biru:
$C(3, 1) = frac3!1!(3-1)! = frac3!1!2! = frac31 = 3$ cara.
Karena pengambilan bola merah dan bola biru adalah kejadian independen yang terjadi bersamaan, maka total cara pengambilan 2 bola merah dan 1 bola biru adalah hasil perkalian kedua jumlah cara tersebut:
Total cara = $C(5, 2) times C(3, 1) = 10 times 3 = 30$ cara.
Contoh Soal 7: Peluang Kejadian Sederhana
Soal: Dua buah dadu dilempar bersamaan. Berapa peluang munculnya jumlah mata dadu adalah 7?
Pembahasan:
Ruang sampel dari pelemparan dua dadu adalah semua kemungkinan pasangan mata dadu yang muncul.
Setiap dadu memiliki 6 sisi, sehingga total kemungkinan adalah $6 times 6 = 36$ pasangan.
Ruang sampel (S) = (1,1), (1,2), …, (6,6), $|S| = 36$.
Kejadian yang diinginkan adalah munculnya jumlah mata dadu adalah 7. Mari kita daftar pasangan yang jumlahnya 7:
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Jumlah kejadian yang diinginkan (A) = 6.
Peluang kejadian A adalah:
$P(A) = fractextJumlah kejadian AtextJumlah ruang sampel = frac636 = frac16$.
Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu adalah 7 adalah $frac16$.
Kesimpulan
Menguasai contoh-contoh soal seperti yang telah dibahas di atas akan memberikan pemahaman yang kokoh tentang konsep-konsep matematika kelas 10 semester 2. Kunci keberhasilan terletak pada pemahaman mendalam terhadap setiap topik, bukan sekadar menghafal rumus. Latihan yang konsisten dengan berbagai variasi soal, serta kemampuan untuk menghubungkan konsep matematika dengan situasi dunia nyata, akan menjadi bekal berharga bagi siswa dalam menempuh pendidikan lebih lanjut dan menghadapi tantangan masa depan.
Ingatlah bahwa matematika adalah sebuah perjalanan eksplorasi. Dengan tekun berlatih dan terus bertanya, setiap siswa memiliki potensi untuk meraih keberhasilan dalam memahami dan mengaplikasikan ilmu matematika.
>